exos maths terminale trinôme et tangente

[cherada]

exercice 1 

Soient b et c deux réels données et (E) l'équation : x^2+ bx + c =0 d'inconnue réelle x.
A chaque équation (E) on associe le plan M de coordonnées(b,c) dans un repère orthogonal du plan.
1) déterminer puis construire l'ensemble (C) des points M tels que (E) admette une racine double.
2) déterminer l'ensemble ∑ des points M tels que (E) admette deux solutions réelles distincts et confondus.
3) Discuter alors suivant la position de M dans ∑ le signe des racines de (E)
4) Déterminer l'ensemble Δ 1 des points M tels que le réel 1 soit racine de (E). Construire Δ 1 et montrer que Δ1 est tangente à la courbe (C).
5) soit a un réel donné, déterminer l'ensemble Δa des points M tels que a soit racine de (E). Montrer que delta a est tangente à (C)
6) déterminer l'ensemble ∑ ' des points M tels que (E) admette deux racines réelles distinctes x' et x'' vérifiant -1 ∠ x'∠1∠x". Préciser ∑' sur votre graphique

 

 

exo 2 

soit la parabole P d'équation y = x^2
1) donner une équation de la tangente au point d'abscisse 3
2) Soit Mo(Xo, Yo) un point de P. Donner en fonction de Xo une équation de la tangente en Mo.
3) Peut on déterminer Xo pour que la tangente (MoT) passe par l'origine du repère.
4) en considérant deux tangente en Mo(Xo, Yo) et M1(X1, Y1) avec Xo différent de X1
a) donner une relation entre Xo et X1 pour que (MoT) et (M1T) soient perpendiculaires.
b) Déterminer l'ensemble des points d'intersections de telles tangentes.

 

veuillez m'aider surtout pour l'exo 1 ^^ et quand vous m'expliquez donnez moi tous les détails pour que je puisse bien comprendre. 

Alors pour l'exo 1 question 1 je l'ai faite j'ai résolu delta = 0 

1) racine double si delta=0

b²-4c =0 ( a=1)

c= -b²/4

M(b,-b²/4) ou M(x=b ;y=-b²/4) je pense pas avoir fini la question 1 mais je suis bloqué ^^

Pour la question 2 je pense qu'il faut résoudre delta supérieur à 0 mais j'arrive pas à faire l'inéquation. Et pour les autres questions, aucune idée de ce qu'il faut faire ^^

 

 

 

[Barbidoux]

 

 

veuillez m'aider surtout pour l'exo 1 ^^ et quand vous m'expliquez donnez moi tous les détails pour que je puisse bien comprendre. 

Alors pour l'exo 1 question 1 je l'ai faite j'ai résolu delta = 0 

1) racine double si delta=0

b²-4c =0 ( a=1) bien commencé 

c= -b²/4 là cela se gâte c=b^2/4 s

M(b,-b²/4) ou M(x=b ;y=-b²/4) je pense pas avoir fini la question 1 mais je suis bloqué ^^  tu prends M{x,y} cela donne l'équation de la parabole y=x^2/4

Pour la question 2 je pense qu'il faut résoudre delta supérieur à 0 mais j'arrive pas à faire l'inéquation. Et pour les autres questions, aucune idée de ce qu'il faut faire ^^

b²-4c >0  ==> c<b^2/4 il se pourrait bien que cela corresponde à la partie du plan située en dessous de la parabole précédente non ? ensuite le produit des racines valant c selon son signe tu dois pouvoir en déduire des choses... je te laisse réfléchir un peu ...

 

 

[cherada]

 

 

veuillez m'aider surtout pour l'exo 1 ^^ et quand vous m'expliquez donnez moi tous les détails pour que je puisse bien comprendre. 

Alors pour l'exo 1 question 1 je l'ai faite j'ai résolu delta = 0 

1) racine double si delta=0

b²-4c =0 ( a=1) bien commencé 

c= -b²/4 là cela se gâte c=b^2/4 

M(b,-b²/4) ou M(x=b ;y=-b²/4) je pense pas avoir fini la question 1 mais je suis bloqué ^^  tu prends M{x,y} cela donne l'équation de la parabole y=x^2/4.  et le point b on le calcule comment ? Parce qu'on sait que M est de coordonnées (b, c). On a trouvé c mais pas b ^^ 

Pour la question 2 je pense qu'il faut résoudre delta supérieur à 0 mais j'arrive pas à faire l'inéquation. Et pour les autres questions, aucune idée de ce qu'il faut faire ^^

b²-4c >0  ==> c<b^2/4 il se pourrait bien que cela corresponde à la partie du plan située en dessous de la parabole précédente non ? ensuite le produit des racines valant c selon son signe tu dois pouvoir en déduire des choses... je te laisse réfléchir un peu ... Pourquoi on doit faire le produit des racines ? D'ailleurs après avoir trouvé le résultat c<b^2/4 cela ne nous donne pas les deux solutions réelles distinctes. Franchement je ne comprends pas si vous pouviez tout m'expliquer ce serait vraiment sympa. En plus je ne saisis pas le sens de la question 3; Je ne sais pas si c'est bon mais si c (le produit des racines est positif) cela veut dire que les racines sont positives ? et comment on fait pour déterminer que 1 soit racine de (E). Je suis perdu et ne vois pas comment faire...  Merci pour votre aide 

 

 

 

[Barbidoux]

exercice 1 

Soient b et c deux réels données et (E) l'équation : x^2+ bx + c =0 d'inconnue réelle x.
A chaque équation (E) on associe le plan M de coordonnées(b,c) dans un repère orthogonal du plan.
1) déterminer puis construire l'ensemble (C ) des points M tels que (E) admette une racine double.

---------------------

cet ensemble ( C) est tel que b^2-4*c=0 ==> c=b^2/4. L'ensemble des points M{x,y} qui satisfait cette relation est la parabole d'expression y=x^2/4 puisque chacun des ses point d'abscisse x=b a pour ordonnée y=b^2/4. 

---------------------
2) déterminer l'ensemble ∑ des points M tels que (E) admette deux solutions réelles distincts et confondus.

---------------------

cet ensemble  ∑ est tel que b^2-4*c>0 ==> c<b^2/4. L'ensemble des points M{x,y} qui satisfait cette relation se trouve en dessous de la parabole d'expression y=x^2/4 puisque chacun des ses point d'abscisse x=b a pour ordonnée b^2/4 tel que c<b^2/4

---------------------
3) Discuter alors suivant la position de M dans ∑ le signe des racines de (E)

---------------------

 

[hguoo]

qui aurait les réponses de la suite de l'exercice 1 a partir de la question 4 svp

[pzorba75]

Si 1 est racine de (E ):x^2+bx+c=0 alors E=(x-1)(x+m) =0, m étant un réel à déterminer.

À toi de continuer.  

[MaximeG]

Justement .. Désolé de la question sûrement idiote mais comment calcule t-on cette équation ? Depuis 30min je bloque sur cette résolution banale 

merci 

[pzorba75]

On ne calcule pas une équation, on résout une équation.

Dans la réponse précédente, il faut développer, ordonner suivant les puissances de x et identifier les coefficients de degré identique.

[hguoo]

en développant votre équation je trouve x² +xm-x-m =0

 

mais que dois-je faire après .... je suis réellement perdu et merci de votre aide précieuse mais je ne vois toujours pas comment répondre a la question 4 a partir de cela

[MaximeG]

En résolvant : 

x^2 -x +m(x-1) 

[pzorba75]

x² +xm-x-m =0  <=> x²+(m-1)x-m=0.

[Barbidoux]

4) Déterminer l'ensemble Δ 1 des points M tels que le réel 1 soit racine de (E). Construire Δ1 et montrer que Δ1 est tangente à la courbe (C).
-----------------------
Si 1 est racine de (E) alors 1+b+c=0 et dans ce cas l'ensemble des Δ 1 des points M{x,y} tels que le réel 1 soit racine de (E) est la droite d'équation 1+x+y=0 ==> y=-x-1.
Cette droite intercepte le graphe de ( C) en des points dont les abscisses sont les solutions du système d'équation :
y=x^2/4
y=-x-1
ce système n'admettant qu'une solution on en déduit que  Δ1 ne coupe le graphe de ( C) qu'en un seul point donc que ∆1est tangente à la courbe (C).

 

[MaximeG]

C'est super merci, du coup j'y étais arrivé ce matin mais vraiment merci .. Maintenant j'ai du mal à la question 6 à traduire la question par une égalité mathématique 

[hguoo]

merci beaucoup barbidoux pour la réponse à la question 4 c'est très clair et j'ai compris... 

savez vous comment proceder pour les questions 5 et 6 afin que j'en finisse pour de bon avec cet exercice

merci par avance et bonne soirée

 

[Barbidoux]

5) soit a un réel donné, déterminer l'ensemble Δa des points M tels que a soit racine de (E). Montrer que delta a est tangente à (C)
-----------------------

Si a est racine de (E) alors a^2+a*b+c=0 et dans ce cas l'ensemble des Δa des points M{x,y} tels que le réel a soit racine de (E) est la droite d'équation a^2+a*x+y=0 ==> y=-a*x-a^2. Cette droite intercepte le graphe de ( C) en des points dont les abscisses sont les solutions du système d'équation : y=x^2/4 y=-a*x-a^2 ce système n'admettant qu'une solution (x=-a) on en déduit que  Δa ne coupe le graphe de ( C) qu'en un seul point donc que ∆a est tangente à la courbe (C).
------------------------
6) déterminer l'ensemble ∑ ' des points M tels que (E) admette deux racines réelles distinctes x' et x'' vérifiant -1 < x'<1<x". Préciser ∑' sur votre graphique.
------------------------
On cherche le lieu de M(b,c). On rappelle que dans l'équation x^2+b*x+c admet deux racines distinctes lorsque ∆=b^2-4*c>0 ==> c'est à dire lorsque M(x,y) est tel que y<x^2/4. Dans ce cas les racines sont respectivement  :
x'=(-b-√(b^2-4*c))/2
x"=(-b+√(b^2-4*c))/2
on en déduit que :
-b=x'+x" ==> -b>0 ==> b<0  c'est à dire lorsque M(x,y) est tel que x<0
et
-b-√(b^2-4*c)>-1  ==> -b+1>√(b^2-4*c) comme b<0 -b+1>0 et (-b+1)^2>(b^2-4*c) ==> -2*b+1>-4*c ==> 4*c>2*b-1  c'est à dire lorsque M(x,y) est tel que y>(2*x-1)/4
Conclusion l'ensemble ∑ ' des points M tels que (E) admette deux racines réelles distinctes x' et x'' vérifiant -1 < x'<1<x"est la zone du plan correspondant au abscisses négatives limitée par les portion de graphes de x=0,  y=x^2/4 et  y=(2*x-1)/4 respectant les conditions : x<0,  y<x^2/4 et  y>(2*x-1)/4.

 

[Lou27831]

Quelqu'un pourrait me réexpliquer pour la question 6 svp 

Et aussi pourquoi on peut remplacer x par b et y par c dans les équations ?

[julesx]

A tout hasard...

6) Ma démarche diffère un peu de celle de Barbidoux (comme tout le monde, je suppose, je déplore son départ).
On veut que -1<x'<1<x" avec x'=(-b-√(b²-4c))/2 et x"=(-b+√(b²-4c))/2

* -1<(-b-√(b²-4c))/2 => -2<-b-√(b²-4c) soit -2+b<-√(b²-4c) soit encore√(b²-4c)<2-b
si b>2 cette inéquation n'a pas de solution
si b<2 on peut élever au carré les deux membres de l'inéquation pour obtenir finalement c>b-1
Les valeurs de b et de c sont dans le demi-plan au dessus de la droite d'équation y=x-1 moins la partie du plan située à droite de x=2..
 
* (-b-√(b²-4c))/2<1 => -b-√(b²-4c)<2
Une démarche similaire, mais sans restriction sur b,  conduit au résultat suivant :
Les valeurs de b et de c sont dans le demi-plan en dessous de la droite d'équation y=-x-1

* 1<(-b+√(b²-4c))/2 => 2<-b+√(b²-4c) soit 2+b<√(b²-4c) soit encore√(b²-4c)>b+2
Là encore, on peut élever au carré sans restriction pour obtenir c>-b-1.
Les valeurs de b et de c sont dans le demi-plan en dessous de la droite d'équation y=-x-1, soit le même que pour le cas précédent.

Pour illustrer ceci, ci-joint un fichier Geogebra où,  pour chacune des positions de A, on calcule x' et x" à partir des coordonnées b et c de ce point. Ceci permet, en déplaçant A, de vérifier que les conditions ne sont respectées que si A reste dans la "bonne" partie.

A noter que, si on place A dans la partie concave de la parabole, les points d'interrogations qui apparaissent matérialisent le fait que la racine carrée n'est pas calculable puisque b²-4c est négatif.

trinome.ggb