Détermination d'un polynôme de degré 2

[pzorba75]

Bonjour à tous,

voici un exercice de T-Expertes où je patine.

P est un polynôme de degré 2 défini sur C par P(z)=z^2+bz+c, où b et c sont des nombres réels.

Déterminer la valeur de c sachant que l'une des racines complexes de P a pour forme exponentielle (c-1)*exp(i*pi/4).

Les solutions conjuguées sont z1=(c-1)*exp(i*pi/4) et z2=(c-1)*exp(-i*pi/4) telles que z1*z2=(c-1)^2. Avec (c-1)^2=c, j'obtiens c=(3+ou-sqrt(5))/2 mais en vérifiant avec xcas, ce résultat me semble faux.

Où est mon erreur?

Merci d'avance aux courageux qui affrontent le refroidissement estival et les douceurs mathématiques.

Bel été à tous.

[Black Jack]

Bonjour,

 

z² + bz + c = 0
z = [-b +/- (b² - 4c)^(1/2)]/2
complexe --> 
z = -b/2 +/- i * (1/2)*V(4c-b²)

-b = +/- V(4c-b²)

donc b = V(4c-b²) si b 0
ou b = -V(4c-b²) si b < 0

et il faut (c-1) = - b/2

a) b 0
b = V(4c-b²)
(c-1)/V2 = - b/2

b = V(4c-b²)
V2.(c-1) = - b

b² = 4c - b²
b²/2 = c --> c > 0
V2*(b²/2 - 1) = - b
(b² - 2) = - V2.b
b² + V2.b - 2 = 0

b = (-V2 +/- V(2+8))/2
b = (-V2 + V10)/2 (puisque b > 0)

c = -(-V2 + V10)/(2V2) + 1
c = (V2 - V10)/(2V2) + 1

c =  (3 - V5)/2

Equation : z² + z.(-V2 + V10)/2 + (3 - V5)/2 = 0

dont les solutions sont : z = -0,4370... +/- i * 0,4370...
et avec (c-1)*exp(i*pi/4) = ((3 - V5)/2 - 1)*exp(i*pi/4) = -0,4370... - i * 0,4370...
et avec (c-1)*exp(i*-pi/4) = ((3 - V5)/2 - 1)*exp(i*-pi/4) = -0,4370... + i * 0,4370...

c'est OK
*********
On peut aussi essayer avec :

b) 
b < 0
b = -V(4c-b²)
(c-1)/V2 = - b/2
...

Pas fait, même démarche.

Cela donne peut être une solution avec c =  (3 + V5)/2

 

 

[Black Jack]

Suite et fin.

b < 0
b = -V(4c-b²)
(c-1)/V2 = - b/2

b = -V(4c-b²)
V2.(c-1) = - b

b² = 4c - b²
b²/2 = c --> c > 0
V2*(b²/2 - 1) = - b
(b² - 2) = - V2.b
b² + V2.b - 2 = 0

b = (-V2 +/- V(2+8))/2
b = (-V2 - V10)/2 (puisque b < 0)

c = 1 - b/V2
c = 1 + (V2 + V10)/(2V2)
c = (3 + V5)/2

Equation : z² + z.(-V2 - V10)/2 + (3 + V5)/2 = 0

dont les solutions sont : z = 1,1442... +/- i * 1,4442...
et avec (c-1)*exp(i*pi/4) = ((3 + V5)/2 - 1)*exp(i*pi/4) = 1,1442... + i * 1,1442...
et avec (c-1)*exp(i*-pi/4) = ((3 + V5)/2 - 1)*exp(i*-pi/4) = 1,1442... + i * 1,1442...

C'est OK
***************

Donc les 2 équations qui correspondent à l'énoncé sont :

z² + z.(-V2 + V10)/2 + (3 - V5)/2 = 0
et
z² + z.(-V2 - V10)/2 + (3 + V5)/2 = 0
 

 

[pzorba75]

En vérifiant avec xcas et en calculant un argument des solutions obtenues avec les deux équations, xcas ne parvient pas à retrouver la valeur remarquable des arguments. Ce qui m'a fait douter de mes résultats.

Merci beaucoup pour l'aide apportée en pleine période de vacances.

 

 

[Black Jack]

Il y a 21 heures, pzorba75 a dit :

En vérifiant avec xcas et en calculant un argument des solutions obtenues avec les deux équations, xcas ne parvient pas à retrouver la valeur remarquable des arguments. Ce qui m'a fait douter de mes résultats.

Merci beaucoup pour l'aide apportée en pleine période de vacances.

Bonjour,

Pour les arguments, le piège est peut-être sur le signe de (c-1) ?

Par exemple, avec l'équation : z² + z.(-V2 + V10)/2 + (3 - V5)/2 = 0

on trouve z = -(1/2) * V(3-V5) +/- i * (1/2) * V(3-V5)

arg de z = -(1/2) * V(3-V5) + i * (1/2) * V(3-V5) = 3Pi/4 (mod 2Pi)
et
arg de z = -(1/2) * V(3-V5) - i * (1/2) * V(3-V5) = -3Pi/4 (mod 2Pi)
****

Arg de (c-1)*exp(i*pi/4) = arg(c-1) + Pi/4
Et avec (c-1) < 0 ici, alors on a : Un Arg de (c-1)*exp(i*pi/4) = Pi + Pi/4 = 3Pi/4 (mod 2Pi)

Et

Arg de (c-1)*exp(i*-pi/4) = arg(c-1) - Pi/4
Et avec (c-1) < 0 ici, alors on a : Un Arg de (c-1)*exp(i*pi/4) = -Pi - Pi/4 = -3Pi/4 (mod 2Pi)

 

 

Modifié le 28 juillet 2021 par Denis CAMUS
Suppression de la citation inutile

[pzorba75]

Je vais reprendre cet exercice et le rédiger de façon détaillée pour le conserver. Je te le transmettrai pour vérification. Merci de toute ton attention. 

[julesx]

Bonjour à tous les deux,

Je débarque comme les carabiniers ! Mais, à ma connaissance, le cours de terminale spécifie que, dans la forme exponentielle r*e^ix, le coefficient r est un module, donc forcément positif. Or, parmi les deux solutions de l'équation (c-1)²=c, seule (3+√5)/2 donne c-1≥0. Avec cette restriction, on trouve bien les bons arguments pour les solutions.

Comme le montre Black Jack, vu que l'autre valeur de c se traduit par c-1<0, il faut évidemment tenir compte du signe -1 pour le calcul l'argument. Mais on n'est plus dans le contexte de la forme exponentielle...