Intersection d'une sphère et d'un plan.

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous,

Je souhaiterais votre avis sur la validité de la démonstration suivante. Il s'agit de montrer de façon purement géométrique que l'intersection d'une sphère S de rayon R et d'un plan P est un cercle.

. Soit P' le plan perpendiculaire à P passant par le centre O de la sphère. 

. Soit (AB) = P∩P' , avec A et B ∈ S .

. Soit Δ la droite de P' perpendiculaire à (AB) passant par O. Δ coupe (AB) en H.

. Soit M un point quelconque de P∩S .

Δ étant dans P' et perpendiculaire à l'intersection des deux plans P et P' orthogonaux, elle est perpendiculaire à P. On peut donc écrire (OH) ⊥(HM) et OHM rectangle en H.

Donc HM =   =    . HM est donc bien égal à une constante, ce qui établit que l'intersection de S et P est un cercle de centre H.

 

Qu'en pensez-vous ? Manque-t-il des éléments ? Ce qui me poserait éventuellement problème c'est de montrer que P∩P' coupe bien la sphère S ...

Merci d'avance pour votre aide.

[Chaka]

Bonjour !

T'as démo est totalement juste cependant je trouve nécessaire de faire la disjonction de cas où d<r ; d=r ; d>r avec d=la distance OH

En effet, si d=r alors ton intersection est un unique point ; si d>r l'intersection est vide

En espérant t'avoir aidé ...

Chaka

[C8H10N4O2]

Le 25/11/2020 à 13:30, Chaka a dit :

Bonjour !

T'as démo est totalement juste cependant je trouve nécessaire de faire la disjonction de cas où d<r ; d=r ; d>r avec d=la distance OH

En effet, si d=r alors ton intersection est un unique point ; si d>r l'intersection est vide

En espérant t'avoir aidé ...

Chaka

Bonsoir et merci de cette réponse.

Je cherche à montrer que A et B sont sur S. Une idée de comment procéder ? 

[julesx]

Bonjour,

Après réflexion, mais à vérifier :

Pourquoi introduire un second plan ?

Tu pars de la sphère de rayon R et de centre O et de son intersection avec le plan P.

De O, tu traces la perpendiculaire à P qui coupe le plan en H. Par définition, cette perpendiculaire est unique.

D'autre part, tu définis un point M d'intersection entre P et S.

(OH) perpendiculaire à P, (HM) une des droites de P => (OH) perpendiculaire à (OM) => le triangle OHM est rectangle.

Tu retrouves donc que [HM] est constant donc que l'intersection entre P et S est bien un cercle.