Matrice et arithmétique

[biggy2710]

Bonjour à tous ! 

J'ai un exercice à faire en arithmétique qui utilise les suites et les matrices : je suis complètement perdu. J'apprécierais vraiment votre aide....

Voici le sujet 

(NB les () suivant les a indique les indices ; j'ai noté les parenthèses des matrices ( a    b

                                                                                                                                                   c      d   )

On considère la suite (a n) définie par a0 : 0 et a1 : 1 et pour tout n de N, a(n+2) = a3(n+1) + 2an

Partie 1

1)Calculer les 9 premiers termes de la suite (an) et donner les décompositions en produit de facteurs premiers de a6 et de a8

2) Soit A la matrice définie par : 

A ( 3 2

     1 0 ) 

Justifier que pour tout n de N, 

(an+2          =. A (an+1

an+1)                   an)

 

3) montrer par récurrence que pour tout n de N* 

A^n = (a(n+1)        2an

           an               2a(n-1))

 

 

Partie 2. 

On rappelle que det (a  b          = ad-bc et on admet que pour tout n de N, det (A^n) = (detA)^n

                                     c    d)

1) Montrer que pour tout n de N* a(n+1)a(n-1)-a(n)^2 = -(-2)^(n-1)

2) en déduire que, pour tout n de N*, si d est diviseur de an et a(n+1), alors d est une puissance de 2 puise que an et a(n+1) sont premiers entre eux 

Partie 3

 1) En remarquant que A^(n+k) = A^n * A^k, montrer que pour tout entier naturels net k, n étant non nul, a(n+k) = a(k+1)a(n) + 2a(k)a(n-1)

2) en déduire que pour tout entier naturel n, a(n) divise a(2n) et a (3n)

3) Montrer que a(24) est divisible par 15015 = 3X5X7X11X13

Voici ce que j'ai fait

Partie 1

a0 = 0

a1 = 1

a2 = 3

a3 = 11

a4 = 39

a5 = 139

a6 = 495

a7 = 1763

a8 = 6279

a9  = 22363

a6 = 3^2 X5X11

a8 = 3X7X11X23

 

1)2 et 1)3 pas de soucis

Partie 2 : 

1) det(A^n) =(ad-bc)^n

<-> 2a(n+1)a(n-1)-2a(n)*a(n) =(3*O-2*1)^n

<-> 2(a(n+1)a(n-1)-a(n)^2) = (-2)^n

<->a(n+1)a(n-1)-a(n)^2 = (-2)^^(n-1) Je ne comprends pas pourquoi il est censé y avoir un - dans "-(-2)^(n-1)

2) Soit b= a(n) et r = a(n+1) et a = -(-2)^(n-1)

Si d est un diviseur de b et de r, alors d divise a = bq +r. Il divise donc -(-2)^(n-1)

Or -(-2)^(n-1), 2 étant premier, ne peut être divisé que par des puissances de 2 ou par 1. d est donc une puissance de 2

Je bloque également complètement pour la partie 3

Merci énormément par avance 

 

 

[pzorba75]

Ton sujet et tes réponses ne sont pas claires, pour taper des éléments indicés utilise le bouton X₂ , par exemple a₁ et pour tous les termes indicés. Pour noter une matrice de façon lisible et sure, utilise la notation classique (Xcas, calculatrice..) A=[[3,2],[[1,0]] . 

 

 

 

 

[Barbidoux]

Il y a 10 heures, biggy2710 a dit :

Partie 2 : 

 

1) det(A^n) =(ad-bc)^n

<-> 2a(n+1)a(n-1)-2a(n)*a(n) =(3*O-2*1)^n

<-> 2(a(n+1)a(n-1)-a(n)^2) = (-2)^n

<->a(n+1)a(n-1)-a(n)^2 = (-2)^^(n-1) Je ne comprends pas pourquoi il est censé y avoir un - dans "-(-2)^(n-1)

2) Soit b= a(n) et r = a(n+1) et a = -(-2)^(n-1)

Si d est un diviseur de b et de r, alors d divise a = bq +r. Il divise donc -(-2)^(n-1)

Or -(-2)^(n-1), 2 étant premier, ne peut être divisé que par des puissances de 2 ou par 1. d est donc une puissance de 2

 

[biggy2710]

Merci beaucoup Barbidoux ! 

Serait-il possible d'avoir des pistes / de l'aide pour la partie 3 ? 

Partie 3

 1) En remarquant que A^(n+k) = A^n * A^k, montrer que pour tout entier naturels net k, n étant non nul, a_(n+k) = a_(k+1)a_(n) + 2a_(k)a_(n-1)

2) en déduire que pour tout entier naturel n, a_(n) divise a_(2n) et a_(3n)

3) Montrer que a₍₂₄₎ est divisible par 15015 = 3X5X7X11X13

Merci par avance 

[biggy2710]

Barbidoux, je viens de reprendre ta réponse, mais j'ai bien peur de ne toujours pas arriver à comprendre; 

Avec ce que tu as écrit, je comprends que : 

comme det (A) = -2 et det(Aⁿ) = 2a_n+1a_n-1-a_n², on a a_n+1a_n-1-a_n²= (-2)^n-1 mais je ne comprends toujours pas comment je suis censé aboutir à a_n+1a_n-1-a_n²= -(-2)^n-1 

Est-ce une erreur d'énoncé ? 

Merci d'avance 

De plus, je bloque complètement sur la fin de la partie 2 avec la question : montrer que a_n et a_(n+1) sont premiers entre eux. et toutes la partie 3

 

 1) En remarquant que A^(n+k) = A^n * A^k, montrer que pour tout entier naturels net k, n étant non nul, a_(n+k) = a_(k+1)a_(n) + 2a_(k)a_(n-1)

2) en déduire que pour tout entier naturel n, a_(n) divise a_(2n) et a_(3n)

3) Montrer que a₍₂₄₎ est divisible par 15015 = 3X5X7X11X13

Serait-il possible d'avoir des pistes / de l'aide ? 

Un grand merci par avance 

Bonne soirée ! 

[Barbidoux]

il y a 18 minutes, biggy2710 a dit :

Barbidoux, je viens de reprendre ta réponse, mais j'ai bien peur de ne toujours pas arriver à comprendre; 

Avec ce que tu as écrit, je comprends que : 

comme det (A) = -2 et det(Aⁿ) = 2a_n+1a_n-1-a_n²=(-2)ⁿ=-2*(-2)^n-1 ==> a_n+1a_n-1-a_n²= -(-2)^n-1