Exponentielle et suite

[PauPaul]

Bonjour, voici l"énoncé :

On rappelle l’inégalité :
► pour tout réel x, ex >= 1+x
et on admet que, pour tout n de N* :
►1² + 2² + 3² ... + n² = (n(n+1)(2n+1))/6

On pose pour tout n de N* : 

1. Montrer que, pour tout n de N, un >= n +1. En déduire que : 

2. Montrer que, pour tout n de N, , puis   

 

Voila, je sais qu'il va falloir utiliser les rappels, mais je ne sais pas s'il faut utiliser la récurrence ou si il y a un autre moyen, help ! Merci

@Barbidoux Vous m'avez beaucoup aidé sur mon dernier exercice, je sais c'était de la physique chimie, mais peut-être que vous pouvez m'aider sur celui là ? :)

  

[Black Jack]

Bonjour,

 

e^x 1+x

Donc:
e^(0²/n) 1 + 0²/n
e^(1²/n) 1 + 1²/n 
...
e^(n²/n) 1 + n²/n

Donc Un (1 + 0²/n) + (1 + 1²/n) + ... + (1 + n²/n)
Un (n+1) + (1/n) * (0² + 1² + ... + n²)
Un (n+1) + (1/n) * (n(n+1)(2n+1))/6
Un (n+1) + (n+1)(2n+1)/6
Un (n+1) * (1 + (2n+1)/6)

lim(n--> +oo) Un > lim(n--> +oo) [(n+1) * (1 + (2n+1)/6)]
lim(n--> +oo) Un = +oo
****

Un (n+1) + (1/n) * (0² + 1² + ... + n²)
Vn (n+1)/n + (1/n²) * (0² + 1² + ... + n²)
et comme (n+1)/n > 0, on a a fortiori : Vn (1/n²) * (0² + 1² + ... + n²)

Vn (1/n²) * (n(n+1)(2n+1))/6

Vn [(n+1)/n] * (2n+1)/6

comme (n+1)/n > 1 et (2n+1)/6 > 0, on a a fortiori : Vn (2n+1)/6

 

Calculs non vérifiés.

 

 

[pzorba75]

Utiliser 0^2+1^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6< est inutile (et hors programme en France, sauf à le démontrer). Cette somme de termes positifs est positive,  alors un>=n+1.

[Black Jack]

Si un énoncé précise :

"on admet que, pour tout n de N* :
►1² + 2² + 3² ... + n² = (n(n+1)(2n+1))/6"

On peut l'employer sans le démontrer et même si cela n'a pas été vu au cours.