Devoir Maison - Mathématiques

[Nicolas14]

Bonjour,j'ai un devoir maison à remettre à la fin de la semaine, et j'ai des difficultés a résoudre ce devoir 

il n'y a que une seul question :problème ouvert

Discuter selon la valeur du réel m ,le nombre de solutions de l'équation de     ln(x)=mx 

et je suis tombé  sur un  sujet dans lequel il y a les réponse que je cherche mais il ne montre pas comment arriver a ce résultat:

https://www.e-bahut.com/topic/21036-devoir-maison/

je vous remercie d'avance pour votre aide

 

[julesx]

Bonjour et bienvenue sur le site.

Pour justifier les réponses, il faut reprendre l'étude des variations de la fonction ln(x)/x faite dans les questions précédentes.

Rappel:

* f(x) croît de -∞ à 1/e pour x variant de 0 à e puis décroit de 1/e à 0 pour x variant de 1/e à +∞.

* f(x)<0 pour x Є ]-∞;1[ , f(x)=0 pour x=1 et f(x)>0 pour x Є ]1;+∞[

Le mieux est d'esquisser ou de tracer la courbe Cf représentative de la fonction f(x) pour bien comprendre ce qui suit. Les solutions sont les abscisses des intersections éventuelles de l'horizontale y=m avec Cf.

* m<=0 => une seule intersection dans la partie négative de Cf => une solution avec en particulier m=0 qui donne x=1

* 0<m<1/e => 2 intersections, une dans la partie croissante de Cf, une dans la partie décroissante => 2 solutions

* m=1/e => la droite y=m est tangente à Cf => 1solution x=e

 

 

 

[Barbidoux]

Il suffit d'étudier la fonction ln(x)/x, et d'en tracer son tableau de variation ou son graphe