Les suites numériques

[lea.vinted]

Bonjour j’ai un exercice à faire je dois étudier la monotonie de la suite (un) qui est un= 3n / 2n+1 On m’a tout d’abord demandé de calculer u0 u1 et U2 Ce que j’ai fait et pour étudier la monotonie  de la suite j’ai fait : 

un > 0 

n E N , un+1/ un = 3n+1/2n+2 / 3n/ 2n+1 = 3n+1/ 2n+2 * 3n/ 2n+1 = 3n+1/2n+1 * 3n/ 2n+2 = 3/2 * et le problème ensuite c’est que je ne sais pas résoudre 3n/2n+2 Je ne trouve pas le bon résultat quelqu’un pourrais-je m’aider et me dire si mon départ est correcte ou non.                 merci bonne soirée

[julesx]

Je suppose évidemment que n est est entier naturel. Ici, il vaut mieux chercher le signe de u_n+1-u_n.

[lea.vinted]

voilà le sujet  

n n’est pas marqué que c’est un entier naturel 

[Barbidoux]

Pour débuter
1a—————————
u₁=3^0/2^1=1/2, u₂=3^1/2^2=3/2, u₃=3^2/2^3=9/8
1b—————————
u_n+1-u_n=3^(n+1)/2^(n+2)-3^n*2^(n+1)=3^n*2^(n+1)(3/2-1)>0 <==> u_n est une suite monotone croissante

Mais on peut aussi démontrer que u_n+1-u_n=(3ⁿ⁺¹ /2ⁿ⁺²)/(3ⁿ/2ⁿ⁺¹)=3/2 >1 <==> u_n est une suite monotone croissante
2—————————
w_n+1-w_n=-2*n^2+n-3
le polynôme  -2*n^2+n-3 n’ayant pas de racines réelles il est du signe du coefficient de x^2 d’où
w_n+1-w_n < 0 ==> w_n est une suite monotone décroissante

[julesx]

Il y a 12 heures, lea.vinted a dit :

n n’est pas marqué que c’est un entier naturel 

Dans une suite, l'indice est forcément un entier naturel. La seule chose qu'on peut préciser, c'est si n commence à 0 ou à 1. Par contre, ignore ma réponse précédente, vu ce que tu avais écrit, je n'avais pas compris qu'il s'agissait d'élévation à la puissance. A l'avenir, essaie d'utiliser les balises indices et exposants.

[C8H10N4O2]

Pour le dernier exercice, (w_n) est croissante à partir de w₃ qui est le deuxième terme de la suite (dont l'ensemble des indices commence par 2), mais qui est d'indice 3. Je conseille de bien le préciser afin d'éviter toute confusion lors de la correction par ton professeur.

[Barbidoux]

Le 23/10/2019 à 22:26, Barbidoux a dit :

Erreur de ma part à la 3d : Rectificatif

2—————————

w_n+1-w_n=(n^2-n-2)/(n*(n-1))

le polynôme  n^2-n-2 a deux racines réelles il est du signe du coefficient de x^2 à l'extérieur de ses racines

w_n+1-w_n > 0 pour n>2 ==> w_n est une suite monotone  croissante à partir de n=3

 

[lea.vinted]

d’accord merci beaucoup pour la question 3) a wn+1- wn = ((n+1)+1) / (n+1)-1 - (n+1)/ (n-1) mais je n’arrive jamais à le détailler 

[Barbidoux]

[lea.vinted]

pour étudier la monotonie de la suite (vn) question 2)b je doit faire vn+1-vn ? car comment je peut le faire vu que dans l’énoncé nous avons déjà vn+1 mais je ne sais pas le transformer en vn ? 

[julesx]

Il suffit d'utiliser la relation de récurrence qui te donne immédiatement la différence que tu recherches :

v_n+1=v_n-2n²+n-3 => v_n+1-v_n=-2n²+n-3

Il ne te reste plus qu'à étudier le signe de -2n²+n-3.

[lea.vinted]

D’accord est ce que je peut écrire ceci : 

vn+1 = vn -2n+n-3 

n E N, vn+1 -vn = -2n+n -3 

v1= -2*1+1-3=-4

v2 = -2*2+2-3=-9

or 2n+n -3> 0 (carré) donc -2n+n -3<0 donc (vn) décroissante 

 

 

[julesx]

Non, deux problèmes :

* v₂ et v₁sont faux :

v₁=v₀-2*0²+0-3=10-3=7 (v₁ se calcule pour n+1=1 donc pour n=0 et il faut tenir compte de v₀)

v₂=v₁-2*1²+1-3=7-2-2=4 (v₂ se calcule pour n+1=2 donc pour n=1 il faut tenir compte de v₁).

* le trinôme n'est pas un carré, il faut démontrer qu'il est toujours négatif en cherchant s'il peut s'annuler, donc s'il a des racines.

 

[julesx]

Rectification d'une faute de frappe

v₂=v₁-2*1²+1-3=7-2-2=3 (v₂ se calcule pour n+1=2 donc pour n=1 il faut tenir compte de v₁).