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Shadowless

Sens de variation d'une suite

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Il y a 5 heures, Shadowless a dit :

Bonjour,

La suite est donc croissante étant donnée qu'elle est supérieure à 0 .

Non. 

La suite est croissante car un+1-un>0 pour tout n≥1.

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Bonsoir à tous les deux

Une autre manière de faire est de remarquer que 1 est une racine évidente de Un. Or, le produit des racines est de c/a = -1/2. Donc, la deuxième racine est -1/2.

Ainsi, pour n => 1, on est en dehors des racines et comme a = 2 > 0. On en conclut que la suite (Un) est croissante.

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Le 07/07/2019 à 19:23, Shadowless a dit :

C'est l'ensemble de la solution qui nous permet de démontrer que la suite est croissante.

En général, on étudie le sens de variation d'une suite en étudiant le signe de image.png.19319c68f0295816924f6a38b612198f.png . Si le signe de cette différence est positif, comme c'est le cas dans ton exercice, cela signifie que tout terme de la suite est supérieur au terme qui le précède, ce qui veut dire que la suite est croissante.

Lorsqu'on te donne le terme général Un, c'est la manière attendue de résoudre l'exercice. Les cas plus compliqués impliquent de procéder par encadrement et d'utiliser le théorème des gendarmes qui doit sûrement te dire quelque chose.

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Le 07/07/2019 à 19:55, Boltzmann_Solver a dit :

Bonsoir à tous les deux

Une autre manière de faire est de remarquer que 1 est une racine évidente de Un. Or, le produit des racines est de c/a = -1/2. Donc, la deuxième racine est -1/2.

Ainsi, pour n => 1, on est en dehors des racines et comme a = 2 > 0. On en conclut que la suite (Un) est croissante.

Très juste image.png.1ec563f073eaae0b2773ab73ea0f1dee.png, qui est positif à l'extérieur des racines.

il y a 2 minutes, Shadowless a dit :

Donc la méthode utilisé par Barbidoux n'est pas celle attendu ? Si j'ai bien compris .

Si c'est exactement la solution proposée par Barbidoux 

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Faire Un+1 - Un est la méthode générale. C'est celle qui marche le plus souvent mais elle conduit à faire beaucoup de calculs. Donc, elle est souvent pas très élégante. Mais on n'a pas toujours le choix.

Mais pour les suites fonctionnelles, il est parfois plus rapide de réaliser une étude de fonction en réalisant une extension dans R (en pratique, on remplace n qui est dans N par x qui est dans R modulo quelques valeurs interdites). Surtout quand l'étude peut se faire via les variations des fonctions de référence (ce qui shunte toute la partie sur la fonction dérivée).

Pour résumer, pour les élèves peu appliqués mais rigoureux, savoir Un+1 - Un est la base. Ça marche très bien mais c'est souvent un peu plus long et donc le risque d'erreur de calcul augmente. Pour les élèves scolaires faisant beaucoup d'exercices, l'idée est d'aller plus loin en associant chaque forme de suite à un chemin de résolution optimal.

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Si on pose que   image.png.7b1e65e5269b3fb3685311993b3c2831.png  , avec image.png.fdb2979915051a61f4727e6e9b70f293.png , on peut se ramener à l'étude de la variation d'une fonction du second degré, ce que tu sais faire (ce que Boltzmann_Solver appelle réaliser une extension dans R pour une suite fonctionnelle, c'est-à-dire dont le terme général Un est fonction de n).

Mais attention, montrer que le terme général Un est positif sur un intervalle donné ne montre pas en soi que la suite (Un) est croissante ! Ici, il faudrait ajouter à ton argumentaire une justification du type : "étant donné les variations des fonctions du second degré dont le coefficient du monome de degré 2 est positif, alors on peut conclure que (Un) est croissante sur tel intervalle." Sans quoi ton correcteur pourrait imaginer que tu confonds deux notions.

En tout état de cause, ici étudier le signe de Un+1 - Un est largement suffisant.

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Tu as tout à fait raison, j'aurais du calculer -b/(2a) et exploiter directement le sens de variation (j'ai un peu honte sur ce coup). C'est largement plus rapide ne plus.

Ainsi,  -b/(2a) = 1/4. Or, a = 2 > 0. Donc, pour tout n => 1, un est strictement croissante.  <----- bien meilleur raisonnement

A force de faire des préparations au concours post-bac, j'ai tendance à privilégier les racines qui donnes plus d'informations car on ne rédige pas (QCM).

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