Équations différentielles

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous !

Autrefois, en TS le résultat suivant était présenté sans démonstration : Les solutions de l'équation différentielle    sont les fonctions f définies par   ,  

Savez-vous comment justifier cette propriété avec le bagage d"un élève de TS / L1 ? Où cela ne justifie-t-il pas de démonstration particulière ? 

[julesx]

Comme ne manqueront pas de te répondre les intervenants concernés, les équations différentielles ne sont "plus" au programme de TS. Maintenant, tu peux toujours t'amuser à parachuter l'équation et sa solution en demandant à l'élève de montrer que la solution vérifie bien l'équation. Peut-être faudra-t-il cependant lui expliquer que y' est la dérivée de la solution par rapport à x si ce n'est pas évident pour lui !

[C8H10N4O2]

Oui effectivement ce n'est plus au programme , mais même en fouillant dans des manuels du temps où ça l'était encore, je trouve que c'est présenté de manière très succincte.

Je me demandais comment démontrer cette formule, à part en vérifiant qu'effectivement "ça marche". Mais peut-être n'y a-t-il pas de démonstration particulière et que je cherche la petite bête...

[julesx]

Tu n'as pas été voir sur la toile ? Il y a moult sites qui traitent ce problème.

[C8H10N4O2]

il y a une heure, julesx a dit :

Tu n'as pas été voir sur la toile ? Il y a moult sites qui traitent ce problème.

J'avoue que je m'y perds sur la toile entre sites qui deviennent payant simplement pour accéder à une info et ceux où la qualité des réponses est très discutable. Mais je suis preneur si de bonnes références existent !

[julesx]

En principe, tous les liens avec un pdf sont gratuits. Essaie celui-ci :

BTS Electrotechnique Cours de Mathématiques

en prenant le cours de François THIRIOUX.

C'est un cours complet, mais le chapitre sur les équations différentielles me parait convenir à ce que tu recherche.

 

 

 

[C8H10N4O2]

Merci ! Ce n'est pas que je veux qu'on me prémâche le travail de recherche sur le net, mais comme je l'ai dit j'ai du mal à trouver un ou des sites de références et Wiki est souvent d'un niveau trop élevé pour moi !

Donc demander des astuces sur ce forum est souvent le meilleur rapport temps/qualité qui s'offre à moi 

Il y a 5 heures, julesx a dit :

En principe, tous les liens avec un pdf sont gratuits. Essaie celui-ci :

BTS Electrotechnique Cours de Mathématiques

en prenant le cours de François THIRIOUX.

C'est un cours complet, mais le chapitre sur les équations différentielles me parait convenir à ce que tu recherche.

 

 

 

Merci infiniment, ça répond parfaitement à ma question  

Modifié le 26 juin 2019 par C8H10N4O2

[julesx]

J'avais pensé à cette direction de recherche car, ayant enseigné en TS Électrotechnique, je savais ce qu'on enseignait aux élèves en mathématiques (mais qui n'était pas ma matière). Par contre, comme le programme de cette section a changé juste après mon départ à la retraite, je ne sais pas si le document qui date de 2003 y serait toujours d'actualité.

Par contre, il justifie la forme de l'équation homogène à partir de la primitive de y'/y alors que la plupart des documents actuels parachutent directement le résultat en faisant intervenir une primitive du rapport des coefficients de y et de y' (je préfère d'ailleurs cette démarche car elle évite d'avoir à passer au départ par une valeur absolue pour primitiver y'/y).

[C8H10N4O2]

Il y a 2 heures, julesx a dit :

J'avais pensé à cette direction de recherche car, ayant enseigné en TS Électrotechnique, je savais ce qu'on enseignait aux élèves en mathématiques (mais qui n'était pas ma matière). Par contre, comme le programme de cette section a changé juste après mon départ à la retraite, je ne sais pas si le document qui date de 2003 y serait toujours d'actualité.

Par contre, il justifie la forme de l'équation homogène à partir de la primitive de y'/y alors que la plupart des documents actuels parachutent directement le résultat en faisant intervenir une primitive du rapport des coefficients de y et de y' (je préfère d'ailleurs cette démarche car elle évite d'avoir à passer au départ par une valeur absolue pour primitiver y'/y).

Le niveau me paraît en tout cas très bon pour un BTS. J'aurais plus vu ce programme adapté à un DUT, mais peut-être n'y a-t-il pas de différence significative de niveau entre les deux.

Pour poursuivre sur le thème des équations différentielles, pour résoudre une équation de type :   , la méthode que j'ai trouvée consiste à déterminer une fonction g qui vérifie cette équation, puis à montrer que y-g solution de y'+ay = 0 équivaut à y solution de y'+ay = f .

Mais je ne saisis pas bien comment déterminer la forme de g en fonction de la fonction initiale qui nous est donnée. Par exemple, pour   , mon manuel indique qu'il faut chercher une équation g qui soit un polynôme du second degré. Mais comment le savoir ? 

Autre ex, pour   , la fonction "intermédiaire" est indiquée comme étant de la forme   .

Je vois bien qu'il y a un rapport avec le second membre de l'équation différentielle de départ, mais je ne sais pas lequel...

Après lecture du lien proposé dans le message précédent, je crois avoir trouvé ma réponse dans le passage suivant : 

 

Mais si on a ay^'₁ + by₁ = c , cela veut-il nécessairement dire que y soit de la même forme que c ?

Modifié le 26 juin 2019 par C8H10N4O2

[julesx]

il y a 13 minutes, C8H10N4O2 a dit :

Le niveau me paraît en tout cas très bon pour un BTS. J'aurais plus vu ce programme adapté à un DUT, mais peut-être n'y a-t-il pas de différence significative de niveau entre les deux.

Théoriquement, il n'y a pas de différence significative de niveau car, jusqu'à récemment, le recrutement se faisait à partir de niveaux similaires (TS ou TF). Actuellement, le recrutement en TS se fait beaucoup à partir de terminales Bac Pro. N'ayant plus de contacts avec les enseignements de mathématiques de ces sections, je ne sais pas comment cela se passe dans la pratique.

En ce qui concerne la forme de la solution particulière, la méthode de base est celle de la "variation de la constante", voir la littérature à ce propos. Mais, pour simplifier, dans un certain nombre de cas, on préfère utiliser des résultats de cette méthode. Ainsi,  :

* pour un polynôme de degré n, on cherche la solution sous forme d'un polynôme de même degré.

* pour une exponentielle, on cherche la solution sous forme d'une exponentielle de même exposant.

etc... sachant qu'il y a des exceptions, là encore, essaie de trouver des cours à ce propos.

Dans le cas que tu signales,

ay^'₁ + by₁ = c

c étant une constante, donc un polynôme de degré 0, la solution particulière est un polynôme de degré 0, c'est à dire une constante.

Comme la dérivée d'une constante est nulle, la solution particulière vérifie by1=c, soit y1=c/b.

Par contre, si le second membre était de la forme ct+d, la solution particulière serait de la forme y1=At+B, qui vérifie donc

aA+b(At+B)=ct+d d'où par identification des termes de même degré  A=c/b et B=(d-a*c/b)/b (aux erreurs de transcription près).

 

[C8H10N4O2]

Merci pour toutes ces explications !

Dans l'exemple donné que je recopiais un peu rapidement de la capture d'écran au-dessus, j'ai écris c non pour une constante mais pour la fonction c(t) qui peut être un polynôme, une exponentielle, etc. 

Mais les pistes données répondent à ma question, merci.

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous !

J'aurais besoin d'un coup de pouce à propos du passage suivant : 

Première question : que signifie "primitiver" la relation ? Est-ce qu'on peut affirmer que lorsque deux expressions sont égales, leurs primitives le sont aussi ?

Deuxième question : je ne comprends pas pourquoi la primitive de y'/y est ln y(t) 

 

Merci d'avance pour votre aide   

[pzorba75]

je ne comprends pas pourquoi la primitive de y'/y est ln y(t) : il ne s'agit pas de comprendre, c'est une propriété de ln(u) dont la dérivée est u'/u (avec u qui va bien....)

[julesx]

Première question

Primitiver = trouver une primitive

Si deux expressions sont égales, leurs primitives sont égales à une constante près (d'où l'apparition du terme k dans l'exemple que tu cites).

Deuxième question

A priori, une primitive de y'/y est ln|y| car, même si on postule que y ne s'annule jamais, rien ne permet d'affirmer que y est positif.  Par contre, comme, ensuite, on passe à l'exponentielle,  en ne tenant pas compte ici des termes a et b, il vient |y|=ke^t. On distingue alors deux cas en fonction des hypothèses faites sur y :

y>0 => |y|=y et la solution est y=ke^t.

y<0 => |y|=-y et la solution est y=-ke^t . Comme k est une constante quelconque, on peut supprimer le signe - et continuer à écrire la solution sous la forme y=ke^t, k prenant une valeur négative si on fixe une condition initiale y(0)<0.

[C8H10N4O2]

Merci beaucoup pour vos réponses, tout cela est beaucoup plus clair !

Modifié le 27 juin 2019 par C8H10N4O2