Equations differentielles

[bgdg]

Résoudre les équations différentielles d’inconnue y(t) :

(1) y'+5y = e^−t satisfaisant y(0)=1.

(2) y'+5t^4y =3e^−t5 satisfaisant y(1)=2.

(3) y'−y/t = t^2 sur ]0,+∞[ satisfaisant y(1)=1

 

J'ai vraiment besoin d'aide s'il vous plait

[julesx]

Je te fais la 1), essaie de faire les deux autres sur le même principe.

* Solution générale de l'équation sans second membre

y'+5y=0 => y=k*e^-5t

* solution particulière de l'équation avec second membre

Plusieurs méthode. Je prends celle de la variation de la constante.

On pose y=k(t)*e^-5t et on reporte dans l'équation différentielle

k'(t)*e^-5t-5*k(t)*e^-5t+5*k(t)*e^-5t=e^-t

=>

k'(t)=e^4t

=>

k(t)=e^4t/4+k1

d'où

y=(e^4t/4+k1)*e^-5t=e^-t/4+k1*e^-5t

il ne reste plus qu'à exprimer la condition initiale y(0)=1 pour trouver la valeur de k1.

 

[bgdg]

Il y a 1 heure, julesx a dit :

k'(t)*e^-5t-5*k(t)*e^-5t+5*k(t)*e^-5t=e^-t

J'ai du mal a comprendre cette partie 

ce n'est pas plutôt : k'(t)*e^-5t+5*k(t)*e^-5t=e^-t         

[julesx]

Non, parce que y' est la dérivée du produit k(t)*e^-5t , il y a donc bien les deux termes k'(t)*e^-5t-5*k(t)*e^-5t.

Mais, pour ce soir, je ne me reconnecte plus. Si un autre intervenant veut prendre le relais, qu'il n'hésite pas

[bgdg]

Il y a 2 heures, julesx a dit :

k'(t)=e^4t

=>

k(t)=e^4t/4+k1

Comment avez vous fait pour trouver ces deux résultats?

[Barbidoux]

équation différentielle à résoudre  y'+5y = e^−t satisfaisant y(0)=1.

Solution générale de cette équation sans second membre

y'+5y=0 => y'/y=-5 ==> y=k*e^-5t

solution générale de l'équation avec second membre. On utilise la méthode de variation de la constante.

On pose y=k(t)*e^-5t ==> y'=k'(t)*e^-5t- 5*k(t)*e^-5t et on  reporte ces expressions dans l'équation différentielle

k'(t)*e^-5t-5*k(t)*e^-5t+5*k(t)*e^-5t=e^-t  ==> k'(t)*e^-5t=e^-t  ==> k'(t)=e^4t et en intégrant on obtient ==> k(t)=e^4t/4+a où a est une constante. 

La solution générale de l'équation avec second membre (fonctions y(t) satisfaisant l'équation différentielle) est donc y=(e^4t/4+a )*e^-5t . La fonction y(t) satisfaisant l'équation différentielle telle que y(0)=1 est telle que y(0)=1=1/4+a ==> a=3/4 et finalement  y=(e^4t/4+3/4 )*e^-5t 

--------------------------------------

y'+5*t⁴*y =3*e^{-t^5} satisfaisant y(1)=2.  Solution y=3*t*e^{-t^5} +(2*e-3)*e^{-t^5}

--------------------------------------

y'−y/t = t² sur ]0,+∞[ satisfaisant y(1)=1.  Solution y=(1/2)(t+t^3)

[bgdg]

il y a 47 minutes, Barbidoux a dit :

en intégrant on obtient ==> k(t)=e^4t/4+a

Je n'ai pas compris cette partie

[bgdg]

et aussi, comment avez vous fait pour trouver a=3/4

[Barbidoux]

Il y a 8 heures, bgdg a dit :

Je n'ai pas compris cette partie

 les primitives de exp(4*t) ont pour expression exp(4*t)/4+a où a est une constante

Il y a 8 heures, bgdg a dit :

et aussi, comment avez vous fait pour trouver a=3/4

y(t)=y=(e^4t/4+a )*e^-5t et la condition y(0)=1 permet de déterminer la valeur de a ==>  y(0)=1= (e^4*0/4+a )*e^-5*0=(1/4+a) ==> a=3/4

[julesx]

@bgdg

Juste une question. Certains étudiants utilisent directement le résultat suivant, vu en cours :

la solution de l'équation y'(t)+a(t)*y(t)=0 est y(t)=k*e^-A(t)*t où A(t) est une primitive de a(t).

Est-ce le cas pour toi ?

 

[bgdg]

Oui nous avons vu cette méthode mais je ne sais pas comment l appliquer 

[julesx]

Alors, allons-y pour le 2). Rappel, c'est uniquement pour la solution de l'équation sans second membre. Par ailleurs, il faut supprimer dans mon post précédent un t malencontreux, c'est y(t)=k*e^-A(t).

(2) y'+5t⁴y =3e^(−t⁵)

Équation sans second membre

y'+5t⁴y =0

Par identification avec y'+a(t)*y=0 il vient  a(t)=5t⁴ dont une primitive est A(t)=t⁵ (car (t⁵)'=5t⁴ revoir éventuellement à ce propos les primitives des fonctions puissances).

La solution est donc y(t)=k*e^-A(t)=k*e^(-t⁵).

Tu essaies avec le 3) ?

[bgdg]

D'accord merci

Et aussi, j'avais une autre question, lorsqu'on a une équation différentielle d ordre 2 comme celle ci :

(1) y''+3y'−4y =0 satisfaisant y(0)=0,y'(0)=1. 

Utilise-t-on la même méthode?

[julesx]

Non, la méthode dont je t'ai parlée est l'aboutissement de la démarche consistant à passer de y'+a*y=0 à y'/y=-a puis à intégrer et à passer à l'exponentielle. Elle ne peut donc pas s'appliquer à des équations différentielles d'ordre supérieur. Pour ces dernières, la seule possibilité est de chercher les racines de l'équation caractéristique, comme tu as dû le voir en cours.

 

[bgdg]

D’accord et oui je sais qu’il faut chercher les racines de l équation caractéristique mais je ne sais pas ce qu’il faut faire après avec y(0) et y’(0)

[julesx]

Une fois résolu le problème des racines, comme l'équation différentielle est du deuxième ordre, l'expression de y(t) met en jeu deux constantes.

Pour déterminer leurs valeurs, tu écris que y pour t= 0 vaut y(0) et que y' pour t=0 vaut y'(0). Cette deuxième égalité suppose évidemment que tu as commencé par déterminer l'expression littérale de la dérivée de y(t) en fonction, en particulier, des deux constantes.

Au total, ça te fait un système de deux équations à deux inconnus qui te permet de déterminer ces constantes.

N.B. : Je suis volontairement rester dans les généralités car la démarche est la même quelle que soit la nature des racines, réelles, doubles, ou complexes conjuguées. Si tu as besoin que j'explicite le cas particulier que tu as cité, n'hésite pas à demander. Mais ce serait bien que tu essaies au préalable.

[bgdg]

D’accord merci

Le 18/05/2019 à 07:03, Barbidoux a dit :

 les primitives de exp(4*t) ont pour expression exp(4*t)/4+a où a est une constante

y(t)=y=(e^4t/4+a )*e^-5t et la condition y(0)=1 permet de déterminer la valeur de a ==>  y(0)=1= (e^4*0/4+a )*e^-5*0=(1/4+a) ==> a=3/4

Et je ne comprends toujours pas comment on trouve a = 3/4 pcq je refait le calcul et je trouve toujours a = -3

[Barbidoux]

1=(1/4+a) ==> 1-1/4=a=3/4