Suite exercice Ts

[Ashe08]

L'énoncé est dans l'image !
et voici les questions

1.  Déduire de l'encadrement (E) que, pour tout n ∈ N(naturel), Un inférieur ou égale à Vn.

Je l'ai fais mais j'en suis pas sur,
voila ce que j'ai mis ; 

Selon l'encadrement (E), sin x inférieur ou égale à x.

Nous savons que Un=sin n/n² et Vn= n/n².

Nous pouvons alors en déduire que x= n/n²donc Un inférieur ou égale à Vn

2. a. Justifier que pour tout n ∈ N(naturel), 1^3 +2^3 +...+n^3 inférieur ou égale n^4.
J'aimerais que l'on me réexplique la récurrence car je pense c'est qui faut faire ici

b.En déduire, à l'aide de l'encadrement (E) que, n ∈ N(naturel), Vn-1/6n² inférieur ou égale Un.
J'ai pas vraiment compris ce qu'il faut faire

3. Montrer que lim Vn = 1/2.  En déduire que la suite (Un) est convergente vers un réel que l'on précisera.
et ici je bloque

Merci d'avance pour avoir voulu m'aider

[pzorba75]

Pour la 1) :

1/n^2, 2/n^2,.... n/n^2 sont dans [0,pi], donc on a : sin(1:n^2)<1/n^2, sin(2/n^2)<2/n^2,....sin(n/n^2)<n/n^2 et en addition ces inéquations u_n<=v_n. CQFD

 

 

[Barbidoux]

2a———————

n appartenant à N

1^3≤n^3

2^n<n^3

……….

n^3≤n^3

en faisant la somme des inégalités 

1^3+2^3+….n^3≤n*n^3=n^4

2b———————

application de l’inégalité x-x^3/6 pour x=1/n^2, 2/n^2 etc….

1/n^2-1/(6*n^6)≤sin(1/n^2)

2/n^2-12^3/(6*n^6)≤sin(2/n^2)

……………

n/n^2-n^3/(6*n^6)≤sin(n/n^2)

en faisant la somme des inégalités 

vn-(1^3+2^3+….n^3)/(6*n^6)≤ un

de la relation obtenue à la question 2b) on déduit que 

vn-(n^4)/(6*n^6)≤ vn-(1^3+2^3+….n^3)/(6*n^6)≤ un ==>vn-1/(6*n^2)≤ un

[Ashe08]

merci beaucoup, je comprend mieux car cela fait deux jours que je suis dans un mur !!

[julesx]

Si nécessaire, suite et fin :

3) v_n=1/n²+2/n²+...+n/n²=1/n²*(1+2+...+n)

1+2+...+n=n*(n+1)/2

=>

v_n=1/n²*n*(n+1)/2=1/2*(1+1/n)

Lorsque n tend vers l'infini, 1/n tend vers 0, donc v_n tend vers 1/2.

Pour la limite de u_n, comme u_n est encadré par v_n-1/(6n²) et par v_n, termes qui tendent tous les deux vers 1/2, il suffit d'utiliser le théorème des gendarmes pour conclure.