Développement limité

[Narih]

Bonsoir,

J'ai besoin de votre aide pour corriger des exercices de développements limités. 

J'ai commencée les exercices 1 et 2, et j'ai besoin de savoir si c'est bon s'il vous plaît. 

Je vous remercie de votre aide en avance :) 

 

[pzorba75]

L'exo 2 est faux :

de v'=sin^3 tu obtiens v=cos^3, là tu es à côté de la plaque en matière d'IPP et de grammaire mathématique.

Essaie de voir l'intérêt de la question 1 de l'exo 2 .

cos^3(x)=cos(x)-(sin(x))^2*cos(x) doit te mettre sur la voie.

[Narih]

Bonjour,

Alors j'ai refais la question 2 de l'exercice 2 mais je n'ai toujours pas compris la question 1 de cet exercice 2. En faite, je n'arrive pas à le démontrer. 

J'au aussi fait la question 1 de l'exercice 3, tu peux me dire si c'est bon stp ? 

Le reste est en cours ... 

[Narih]

Est ce que pour la question 2 de l'exercice 3, je dois faire l'intégration en deux parties ?

C'est-à-dire, faire d'abord l'intégration de t^2 puis ensuite faire celui de sin(t), et après calculer les deux ensembles ? 

[Barbidoux]

Exo 2.1

cos(x)^3=cos(x)*cos(x)^2=cos(x)*(1-sin(x)^2)=cos(x)-sin(x)^2*cos(x)

 Intégrale de cos(x)^3=Integrale de cos(x)-sin(x)^2*cos(x)=sin(x)-sin(x)^3/3

———————

Exo 3.1 OK

———————

Exo 3.2 intégration par partie en posant u=t^2 et v’=sin(x)

resultat : 2*x*sin(x)-(x^2-2)*cos(x)

[Invité]

Bonsoir,

 

Pour l'exercice 1-1, votre réponse est hautement folklorique.

f(x) est un polynôme. Il suffit de le développer et de l'ordonner suivant les puissances croissantes pour avoir le DL cherché. A l'ordre 2 on tronque le terme en x³, à l'ordre 20, c'est le polynôme lui-même.

[Invité]

Exercice 3-1

Il faut prendre quelques précautions d'écriture. Le log n'est pas défini en 0. On ne peut donc pas écrire froidement 0*ln(0)=0. Par contre il est vrai que lim[t->0] tlnt=0 et c'est comme ça qu'il faut présenter les choses pour justifier la convergence de l'intégrale.

Quant au résultat (qui est exact) ne le laissez pas sous cette forme.

[Invité]

Pour la question I-1 (le polynôme) je parlais d'un DL au voisinage de 0. Au voisinage d'un réel a il faudrait développer en (x-a).

[Narih]

Bonsoir,

Je vous remercie pour vos explications et vos aides 

Je vais alors refaire la question 1 de l'exercice 1 avec les indications que vous m'avez donné, ainsi que la question 2 de l'exercice 3 et voir si je trouve le même résultat. 

Je posterai ça peut-être demain, en espérant que vous serait toujours là  

[Black Jack]

Salut,

 

Peut-être me trompe-je ?? Mais j'aurais fait ceci (pour exercice 1) :

Ex1)
1)
f(x) = (x-1).(x-2).(x-4) = x³-7x²+14x-8

Et donc DL aux alentours de 0 à l'ordre 2 sera : -8+14x-7x² (pas besoin de dérivées pour en arriver là.)

... Et à l'ordre 20 ??? on a la valeur exacte par -8+14x-7x²+x³

2)
OK pour le DL de sin(x)/x : 1 - x²/6 

3)

Pour e^(sin(x)/x)

Comme on a de e^x = 1 + x + x²/2 + ...

on aura : e^(sin(x)/x) = 1 + (sin(x)/x) + (sin(x)/x)²/2 + (sin(x)/x)³/3! + ...

DL : e^(sin(x)/x) = 1 + (1 - x²/6) + (1 - x²/6)²/2 + (1 - x²/6)³/3! + ...

e^(sin(x)/x) = 1 + (1 - x²/6) + (1 + x^4/36 - x²/3)/2 + (1 - 3x²/6 + 3x^4/36 - x^6/216)/3! + ...

e^(sin(x)/x) = (1 + 1 + 1/2 + 1/3! + ...) - x²/6 + x^4/72 - x²/6 - 3x²/36 + 3x^4/216 - x^6/1296! + ...

e^(sin(x)/x) = e^1 -  5x²/12 + x^4/36 + ...

Et en se limitant à l'ordre 2 :  DL de e^(sin(x)/x) = e -  5x²/12