fonction exponentiel

[sarah nounette]

j ai deja fait la partie A et B mais j ai du mal pour la C

Partie A

Soit g définie sur R par : g(x)=e^x+x+1

1. Déterminer lim x →−∞ g(x) et lim →+∞ g(x)
 2. Dresser le tableau de variation de g.

3. Montrer que l’équation g (x) = 0 admet une unique solution réelle α Donner un encadrement d’amplitude 10 ^-2  de α

4. Déterminer le signe de g (x) selon les valeurs de x.
Partie B

Soit h définie sur R par : h(x)=(xe^x)/(e^x+1)

1. Déterminer lim →−∞ h(x) Interpréter graphiquement le résultat. Déterminer lim →+∞ h(x)
2. Montrer que h ’(x) et g (x) ont le même signe.

3. Montrer que h(α)=α+1 En déduire un encadrement de h(α)  Dresser le tableau de variation de h sur R.

Partie C

On s’intéresse aux fonctions f définies, dérivables sur R et vérifiant :
(C) :
f(0)=0

pour tout x de R, f(x)-f(-x)=x

 1. Montrer que h₀ definie sur R par h₀(x)=x²+x/2 verifie les condition (C)
 2. Montrer que h vérifie les conditions (C).
3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soit f vérifiant (C).

a) Déterminer la fonction dérivée de g:x→ f(x)-f(-x)

b) Montrer que : f '(0)= 1 /2

c) On suppose que pour tout x de R, f(x)≥-1 Que vaut lim →+∞f(x)

d)  On appelle S la courbe représentative de f. Soient x un réel non nul, M le point de S d’abscisse x, M’ le point de S d’abscisse (-x) et ∆ la tangente à S au point d’abscisse 0. Montrer que : MM' //(∆)

[Barbidoux]

Exercice 2

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Partie A

1---------------

f(x)=exp(x)+x+1

définie sur R

lorsque x->∞ alors exp(x)->∞ et f(x-) -> ∞

lorsque x->- ∞ alors exp(x)->0 et x-> -∞ et f(x-) -> -∞

f'(x)=exp(x)+1 >0 quelque soit x donc fonction croissante sur son intervalle de définition

2---------------

x……-∞………………………….∞

f(x)………..croissante…………….

3---------------

f[-2]<0 et f[0]=1, f(x) est croissante sur l'intervalle donc son graphe coupe l'axe des x sur l'intervalle [-2,0] en un point qui est soutien de f(x)=0 et dont on détermine l'abscisse par dichotomie.

-1.28<x<-1.27

4---------------

x……..-∞………………….-1.275……………………∞

f(x)……-∞……. (-)…………0………….(+)…………∞

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Partie B

1---------------

h(x)=x*exp(x)/(exp(x)+1)

Lorsque x-> -∞  alors Lim x*exp(x)/(exp(x)+1)=lim x /(exp(-x)+1) =lim x/exp(-x) =0.La droite y=0 est asymptote au graphe de f(x). f(x)-y=  x /(exp(-x)+1)  <0 et le graphe de f(x) tend vers son asymptote par valeurs inférieures.

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Lorsque x->∞ alors exp(x)>>1 et lim f(x)=x ->∞. La droite y=x est asymptote au graphe de f(x). f(x)-y= -x/(exp(x)+1)<0 et le graphe de f(x) tend vers son asymptote par valeurs inférieures

2---------------

h(x)= exp(x)/(exp(-x)+1)

h'(x)=1/(exp(-x)+1) +x*exp(-x)/(1+exp(-x))^2=exp(x)*(exp(x)+x+1)/(exp(x)+1)^2

exp(x) et exp(x)+1 >0 donc h'(x) et g(x) on même signe

3---------------

a étant solution de g(x) alors exp(a)+a+1=0

h(a)=a*exp(a)/(exp(a)+1)= -exp(a)=a+1

a étant  tel que  -1,28<a<-1,27 ==> -0,28<h(a)<-0,27 

4---------------

x………….-∞………………………-1.275………………………∞

h(x)…………0……….decrois…….Min=h(a)……..crois……….∞

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Partie C

1---------------

h0(x)=x^2+x/2

--------

h0(0)=0

---------

h0(-x)=x^2-x/2

h0(x)-h0(-x)=x

2---------------

h(x)=x*exp(x)/(1+exp(x))

h(-x)=-x*exp(-x)/(1+exp(-x))=-x/(1+exp(x))

h(x)-h(-x)=x*exp(x)/(1+exp(x))+x/(1+exp(x))=x

3a--------------

g(x)=f(x)-f(-x)=x

g'(x)=f'(x)-(f(-x))'=1

dérivation des fonctions composées (f(-x))'=f'(-x)*(-1)=-f'(-x)

g'(x)=f'(x)+f'(-x)*(-1)=1

3b--------------

pour x=0 alors 2*f'(0)=1 ==> f'(0)=1/2

3c--------------

f(x)-f(-x)=x

f(x)≥-1 ==> f(x)+1≥0

lorsque x->∞ alors lim f(x)-f(-x)=f(x)+1-(f(-x)+1)=x -> ∞ et comme f(x)+1>0 on en déduit que f(x) ->∞

3d--------------

C n'est pas défini on suppose qu'il s'agit du graphe de f(x). Ayant  démontré que f'(0)=1/2 on en déduit que ∆ a pour coefficient directeur 1/2. Les coordonnées des point M et M' valent respectivement {x,f(x)} et {-x,f(-x)}. La droite passant par MM' a pur coefficient directeur (f(x)-f(-x))/(x-(-x))=(f(x)-f(-x))/(2x) et comme f(x)-f(-x)) on en déduit que ce coefficient directeur vaut 1/2 et qu'il est égal à celui de ∆ ce qui signifie que ∆ et la droite MM' sont parallèles.

 

[volcano47]

Barbidoux, tu pourrais un peu rédiger ! Ce n'est tout de même pas l'élève qui va le faire !

je parle des passages avec pointillés, bien entendu