sarah nounette Posté(e) le 21 mai 2018 Signaler Share Posté(e) le 21 mai 2018 j ai deja fait la partie A et B mais j ai du mal pour la C Partie A Soit g définie sur R par : g(x)=ex+x+1 1. Déterminer lim x →−∞ g(x) et lim →+∞ g(x) 2. Dresser le tableau de variation de g. 3. Montrer que l’équation g (x) = 0 admet une unique solution réelle α Donner un encadrement d’amplitude 10 -2 de α 4. Déterminer le signe de g (x) selon les valeurs de x. Partie B Soit h définie sur R par : h(x)=(xex)/(ex+1) 1. Déterminer lim →−∞ h(x) Interpréter graphiquement le résultat. Déterminer lim →+∞ h(x) 2. Montrer que h ’(x) et g (x) ont le même signe. 3. Montrer que h(α)=α+1 En déduire un encadrement de h(α) Dresser le tableau de variation de h sur R. Partie C On s’intéresse aux fonctions f définies, dérivables sur R et vérifiant : (C) : f(0)=0 pour tout x de R, f(x)-f(-x)=x 1. Montrer que h0 definie sur R par h0(x)=x2+x/2 verifie les condition (C) 2. Montrer que h vérifie les conditions (C). 3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Soit f vérifiant (C). a) Déterminer la fonction dérivée de g:x→ f(x)-f(-x) b) Montrer que : f '(0)= 1 /2 c) On suppose que pour tout x de R, f(x)≥-1 Que vaut lim →+∞f(x) d) On appelle S la courbe représentative de f. Soient x un réel non nul, M le point de S d’abscisse x, M’ le point de S d’abscisse (-x) et ∆ la tangente à S au point d’abscisse 0. Montrer que : MM' //(∆) Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 21 mai 2018 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 21 mai 2018 Exercice 2 ----------------- Partie A 1--------------- f(x)=exp(x)+x+1 définie sur R lorsque x->∞ alors exp(x)->∞ et f(x-) -> ∞ lorsque x->- ∞ alors exp(x)->0 et x-> -∞ et f(x-) -> -∞ f'(x)=exp(x)+1 >0 quelque soit x donc fonction croissante sur son intervalle de définition 2--------------- x……-∞………………………….∞ f(x)………..croissante……………. 3--------------- f[-2]<0 et f[0]=1, f(x) est croissante sur l'intervalle donc son graphe coupe l'axe des x sur l'intervalle [-2,0] en un point qui est soutien de f(x)=0 et dont on détermine l'abscisse par dichotomie. -1.28<x<-1.27 4--------------- x……..-∞………………….-1.275……………………∞ f(x)……-∞……. (-)…………0………….(+)…………∞ ----------------- Partie B 1--------------- h(x)=x*exp(x)/(exp(x)+1) Lorsque x-> -∞ alors Lim x*exp(x)/(exp(x)+1)=lim x /(exp(-x)+1) =lim x/exp(-x) =0.La droite y=0 est asymptote au graphe de f(x). f(x)-y= x /(exp(-x)+1) <0 et le graphe de f(x) tend vers son asymptote par valeurs inférieures. ------------- Lorsque x->∞ alors exp(x)>>1 et lim f(x)=x ->∞. La droite y=x est asymptote au graphe de f(x). f(x)-y= -x/(exp(x)+1)<0 et le graphe de f(x) tend vers son asymptote par valeurs inférieures 2--------------- h(x)= exp(x)/(exp(-x)+1) h'(x)=1/(exp(-x)+1) +x*exp(-x)/(1+exp(-x))^2=exp(x)*(exp(x)+x+1)/(exp(x)+1)^2 exp(x) et exp(x)+1 >0 donc h'(x) et g(x) on même signe 3--------------- a étant solution de g(x) alors exp(a)+a+1=0 h(a)=a*exp(a)/(exp(a)+1)= -exp(a)=a+1 a étant tel que -1,28<a<-1,27 ==> -0,28<h(a)<-0,27 4--------------- x………….-∞………………………-1.275………………………∞ h(x)…………0……….decrois…….Min=h(a)……..crois……….∞ ----------------- Partie C 1--------------- h0(x)=x^2+x/2 -------- h0(0)=0 --------- h0(-x)=x^2-x/2 h0(x)-h0(-x)=x 2--------------- h(x)=x*exp(x)/(1+exp(x)) h(-x)=-x*exp(-x)/(1+exp(-x))=-x/(1+exp(x)) h(x)-h(-x)=x*exp(x)/(1+exp(x))+x/(1+exp(x))=x 3a-------------- g(x)=f(x)-f(-x)=x g'(x)=f'(x)-(f(-x))'=1 dérivation des fonctions composées (f(-x))'=f'(-x)*(-1)=-f'(-x) g'(x)=f'(x)+f'(-x)*(-1)=1 3b-------------- pour x=0 alors 2*f'(0)=1 ==> f'(0)=1/2 3c-------------- f(x)-f(-x)=x f(x)≥-1 ==> f(x)+1≥0 lorsque x->∞ alors lim f(x)-f(-x)=f(x)+1-(f(-x)+1)=x -> ∞ et comme f(x)+1>0 on en déduit que f(x) ->∞ 3d-------------- C n'est pas défini on suppose qu'il s'agit du graphe de f(x). Ayant démontré que f'(0)=1/2 on en déduit que ∆ a pour coefficient directeur 1/2. Les coordonnées des point M et M' valent respectivement {x,f(x)} et {-x,f(-x)}. La droite passant par MM' a pur coefficient directeur (f(x)-f(-x))/(x-(-x))=(f(x)-f(-x))/(2x) et comme f(x)-f(-x)) on en déduit que ce coefficient directeur vaut 1/2 et qu'il est égal à celui de ∆ ce qui signifie que ∆ et la droite MM' sont parallèles. Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
volcano47 Posté(e) le 21 mai 2018 Signaler Share Posté(e) le 21 mai 2018 Barbidoux, tu pourrais un peu rédiger ! Ce n'est tout de même pas l'élève qui va le faire ! je parle des passages avec pointillés, bien entendu Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
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