Devoir à la maison

[chacha778]

Bonsoir à tous, j'ai un dm à faire mais je ne vois absolument pas comment commencé. Voici mon exercice : 

Définition 1: Soit f une fonction définie sur R. On dit que f est une fonction paire si et seulement si, pour tout x appartenant à R on a f(x)=f(-x)

On dit que f est une fonction impaire si et seulement si, pour tout x appartenant à R on a f(-x)= -f(x)

1. Montrer que les fonctions définies sur R par f1(x)= cos(x); g1(x)=x^4+3x^2+1 et h1(x)= e^x + e^(-x) sont des fonctions paires.

2. Montrer que les fonctions définies sur R par f2(x)= sin(x); g2(x)= x^5+2x+3 et h2(x)= e^x - e^-x sont des fonctions impaires

Définition 2: On dit qu'une fonction f définie sur R est périodique de période p si et seulement si pour toit x appartenant à R f(x+p)= f(x)

1. Montrer que la fonction définie sur R par f(x)= cos(x) est périodiqie de période 2pi

2. Montrer que la fonction définir sur R par f(x)= sin (2pi/5×x) est périodique de période 5

Merci d'avance pour votre aide, bonne soirée !

[anylor]

bonjour

pour t'aider à commencer

pour f1(x)

cos(x) = cos(-x)      c'est du cours

pour g2(x)

tu calcules g1(-x)

tu constates que .......

pour h1(x)  

erreur de frappe ou d'énoncé  ?

il y a 58 minutes, chacha778 a dit :

h1(x)= e^x + e^-3

h1(x) =e^x +e^(-x) ?

 

pour 2)

je pense que tu as oublié la fin de la phrase : sont des fonctions impaires?

f2(x)= sin(x)   c'est du cours 

sin (-x) =  - sin (x)

tu calcules 

g2(- x)= 

et h2(- x)=

[chacha778]

Bonsoir, donc par exemple pour la question 1 de la partie 1, les x deviennent - x ?

Pour h1(x) faute de frappe en effet, c'est bien e^x+e^(-x)

[pzorba75]

Quand tu prends un sujet dans un livre, indique le titre du livre (Repères, Transmath, Indice, Déclic ou Autre), la page et le numéro de l'exercice.

 

f(x)= sin (2pi/5×x) est périodique de période 5 s'écrit, sur un clavier, f(x)= sin (2pi/5*x) , la période de la fonction sin est 2pi, soit 2pi/5*x+T=2pi soit T=8pi/5.

 

[chacha778]

Bonjour, pour la 1 j'ai donc trouvé que pour g1(x)= -x^4-3x^2+1 pour h1(x)= e^(-x) + e^x

Pour la 2: g2(x)= -x^5-2x-3 et pour -e^x -e^x ?

[anylor]

bonjour, non c'est faux

 g1(-x)=(-x)^4+3(-x)^2+1 

comme ce sont des puissances paires

=x^4+3x^2+1 

donc =  g1(x)

g1(-x) = g1(x)  alors g1 est une fonction paire

 

[chacha778]

Ainsi pour h1(x)= h1(-x) ?

[anylor]

h1(-x) =  =e^(-x) +e^(-(-x)) = e^(-x) + e(x) 

le signe - se met devant le x et pas devant exponentielle

=h1(x)

[chacha778]

Oui pour h1(x) je trouve bien cela

Donc du coup pour g2(x) cela fait -x^5-2x+1 ? Et pour h2(x)= -e^(-x)-e^x ?

[volcano47]

tu connais bien la règle des signes en terminale , tout de même ? je te rappelle que 

(-) (-) = + (qui signifie moins par moins donne plus , que ce soit pour la multiplication ou division ) et

(+)(+) = + et (+)(-) = - 

avec ça (x)(x ) =x² est toujours positif , que x soit positif ou négatif =====> UN CARRE EST TOUJOURS POSITIF 

et donc x.x.x =x^3 = x².x est du signe de x (puisque c'est x multiplié par quelque chose de toujours positif) 

On généralise à x^n : si  n est impair (comme dans x^3 ou x^5 etc..):  si on change x en -x , on change x^n en -(x^n) ; et donc, s'il n'y a que des termes x à exposants impairs , comme dans g2(x) , on a une fonction impaire. Et tu montres de même que dans le cas de g1(x) où tu n'avais que des exposants pairs, tu avais une fonction paire. C'est bien ce que dit Anylor.

(évidemment, s'il y ' a un mélange des deux , comme dans une fonction du genre x^4 +2x^3 , tu ne peux rien dire du tout, mais il n' y en avait pas dans ton problème , on n' avait pas poussé le vice aussi loin)

quant à e^x -e^-x ça change évidemment de signe avec x (fonction impaire) puisque a-b = -(b-a) en particulier avec a=e^x et b= e^-x

pour les périodes utilise la définition de la période T : f(x) =f(x+T) et les développements de cos(a+b) etc...

[chacha778]

Oui en effet, après réflexion je trouve bien ce qu'il faut, j'ai juste faite des erreurs de signe, il ne me reste plus que la périodicité ( la première question )