Maths Trigonométrie,suite et fonction

[latrompette1502]

Bonjour j'ai un exercice sur lequel je bloque complètement voici l'énoncé:

Partie A

Soit f définie sur  ]0;+∞[ par : f(x) = (1+x)/x*(√(1+x)-1)

1.a) déterminer lim f(x)

                            x---->+∞

   b)montrer que pour tout x de ]0;+∞[ , f(x)= (1+x)/(1+√(1+x))

   c)en déduire lim f(x)

                         x------>0

2.a)Montrer que f est dérivable sur ]0;+∞[ et que pour tout x de ]0;+∞[, f'(x)=(1+(1/2)*√(1+x))/(1+√(1+x))²

    b) Dresser le tableau de variation de f sur ]0;+∞[

    c)Montrer que: f([1/2 ; 1])∁ [1/2 ;1]

Partie B

Soit (u_n) définie par : u₀=1 et u_n+1=f(u_n)

2.Montrer par récurrence que pour tout n de N u_n+1<u_n

3.En déduire que (u_n) converge vers un réel a solution de l'équation f(x)=x

Partie C

Soit g définie sur ]0;+∞[ par g(x) = x³+x²-1
1) Montrer que g est strictement croissante sur ]0;+∞[
2) Montrer que pour tout x de ]0;+∞[, f(x)=x↔g(x)=0. En déduire que a est l'unique solution dans ]0;+∞[ de l'équation g(x)=0
3) Donner un encadrement d'amplitude 10-3 de a

Je vous remercie par avance

 

[PAVE]

Bonjour,

Comme un air de famille.....

http://www.e-bahut.com/topic/50990-fx-1xx√1x-1/

Pourquoi ne pas poursuivre sur l'autre topic ?

[latrompette1502]

il y a 29 minutes, PAVE a dit :

Bonjour,

Comme un air de famille.....

http://www.e-bahut.com/topic/50990-fx-1xx√1x-1/

Pourquoi ne pas poursuivre sur l'autre topic ?

Bonjour le problème c'est que ce n'est que certaines questions et je  n'ai aucune idée pour les questions qui suivent

[PAVE]

Et bien intervient sur l'ancien fil et pose tes questions (si possible en disant ce que tu as fait ou essayé de faire...)

[Barbidoux]

partie C voir là

 

[latrompette1502]

il y a une heure, Barbidoux a dit :

partie C voir là

 

J'ai réussi à comprendre et j'ai avancé sur la partie a et c mais moi et la réurrence ce n'est pas mon fort. Vous pouvez m'aider ?

[Barbidoux]

a)---------------

f(x)=(1+x)/x(√(1+x)-1)
f(x)=(1+x)*(√(1+x)-1)/x=(1+x)*(√(1+x)-1)*(√(1+x)+1)/(x*(√(1+x)+1))=(1+x)*x/(x*(√(1+x)+1))=(1+x)/(√(1+x)+1)
---------------
f'(x)=-√(1+x)/(2*(1+√(1+x))^2)+1/(1+√(1+x))=(2+√(1+x)/(2*(√(1+x)+1)
Dérivée >0 pour x appartenant à [0,∞[ donc f(x) est une fonction strictement croissante et comme f(1/2)=0.674 et f(1)=0.8284 on en déduit que pour tout x appartenant à [1/2, 1] alors f([1/2 ; 1]) appartient à [1/2 ;1]
b)--------------- Soit (un) définie par : u0=1 et un+1=f(un)
1) Montrer par récurrence que pour tout n de N, un ∈ [ 1/2;1]
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1/2≤u0≤1
on suppose 1/2≤<un≤1. Comme u_n+1=f(un) d'une part et que 1/2≤u_n≤1 on en déduit (voir question a) que f(u_n) appartient à [1/2,1] et donc que 1/2≤u_n+1≤1
La propriété étant démontrée à l'ordre n+1 est héréditaire et valide quelques soit n.
et finalement un appartient à [1/2,1]
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2.Montrer par récurrence que pour tout n de N u_n+1<u_n
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u1<u0 car 2/(√2+1)<1
on suppose u_n<u_n-1
u_n+1<u_n-1+1 ==> u_n+1/(√(u_n+1)+1)<(u_n-1+1) /((√(u_n+1)+1))
et comme  u_n<u_n-1
u_n+1/(√(u_n+1)+1)<(u_n-1+1) /((√(u_n+1)+1))<(u_n-1+1) /((√(u_n-1+1)+1)) ==> f(u_n)<f(u_n-1) <==> u_n+1<u_n
La propriété étant démontrée à l'ordre n+1 est héréditaire et valide quelques soit n.
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3.En déduire que (un) converge vers un réel a solution de l'équation f(x)=x
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la suite un est décroissante et borné elle converge. Sa limite est obtenue lorsque u_n+1=u_n ==> f(u_n)=u_n et la limite de un est donc la solution de f(x)=x sur l'intervalle [1/2,1]
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