Devoir Maison Expo TS

[Misawa]

Bonjour,

J'ai ce devoir maison à faire sur les expo's et je ne l'ai pas vraiment compris, comment faire.

Si quelqu'un aurait la gentilesse de m'aider, me montrer comment faire ce serait gentil de votre part.

Voilà l'énoncé :

[pzorba75]

Juste pour te mettre au travail :

1) Dériver f, étudier les signe de f'(x), en déduire les variations de f, prouver que pour tout réel x, f(x)>=0 et conclure.

2) Même chemin pour g, et prouver que pour tout réel x, g(x)<=1 et conclure.

3) Poser x=1/n et conclure.

 

 

Au travail, je n'irai pas au-delà sans voir ton travail tapé au clavier, pas de photo ni de pièce jointe.

[Misawa]

Du coup pour la 1)

f(x) = e^x-x-1

f'(x) = e^x-1

Sois e^x>0

[PAVE]

Bonsoir,

D'accord pour la dérivée (ce n'était pas... sorcier !) mais il faut continuer !

Etude du signe de cette dérivée

e^x-1 = 0 (équation à résoudre !!)

e^x-1 >0 (inéquation à résoudre !!)

(et e^x-1<0)

d'où le sens de variation de f. Construire le tableau de variation de f (complet !!)

Puis conclure....

A toi .

[pzorba75]

Compte-tenu de la deuxième partie du sujet, orientée économie, il serait utile de savoir si l'élève est en TS ou en TES; en TES, l'étude ce type de fonction me semble hors programme et bien difficile.

[Misawa]

Donc e^x-1 = 0

e^x = 1

lne^x = ln1

x =ln1

Pour e^x-1>0

e^>1

lne^x>ln1

x>ln1

C'est bien cela?

Pouvez vous me construire le tableau de signe/variations s'il vous plaît?

[PAVE]

Si tu l'as oublié (mieux vaudrait le savoir quand même !!) demande a ta calculatrice ce que vaut ln1.....

ln1 = ???

Le tableau donnant le  signe de la dérivée ne pose aucun pb !

[Misawa]

Ln1=0

 

[pzorba75]

Pour faire ce genre de problème, il faut d'abord apprendre le cours, dans ton cas la définition de la fonction  ln, ses propriétés algébriques, les dérivées et les limites. Le cours appris, il faut faire un effort dans l'application pour résoudre un problème embarquant des logarithmes. C'est de cette façon que l'on apprend.

[PAVE]

il y a une heure, Misawa a dit :

Ln1=0

Alors le signe de f '(x) ?

Tu as fait l'étude dans un précédent message, il ne te reste qu'à mettre tes résultats dans un tableau puis ajouter une ligne avec le sens de variation de f.

[Misawa]

Donc récapitulons :

f(x) = e^x-x-1 

f'(x) = e^x-1

∀ x ∈ ℝ, e^x>0, f'(x) est du signe de la dérivée

Donc : e^x-1 =0

            e^x=1

           ln(e^x)=ln(1)

           x = ln(1)

          ln(1) = 0

Donc on obtient le tableau suivant :

x              -oo                        0                    +oo

f'(x)                       _              ||0         +

f                  décroissante     0     croissante

 

C'est bien cela je crois,

Comment prouver maintenant que 1+x < e^x ∀ x ∈ ℝ ?

[Misawa]

J'ai commencé la question 2 :

g(x) =  (1-x)e^x                                                                                               (uv)' = u'v+uv', Sois u(x) =1-x, u'(x) = -1, v(x) = e^x et v'(x) = e^x

g'(x) = (-1)*(e^x)+(1-x)*(e^x) 

g'(x) = -e^x+e^x-xe^x

g'(x) = -xe^x

[pzorba75]

Tu continues, signe de g'(x), variation de g, extremum, puis conclusion.

[PAVE]

il y a une heure, Misawa a dit :

Donc récapitulons :

f(x) = e^x-x-1 

f'(x) = e^x-1

∀ x ∈ ℝ, e^x>0, exact mais qu'est ce que cela vient faire là ??

f'(x) est du signe de la dérivée phrase très ambiguë !! puisque f '(x), c'est ... la dérivée 

Donc :  ?? Etudier le signe de la dérivée, c'est chercher pour quelles valeurs de x, la dérivée f'(x) = e^x-1 est :

* nulle soit

e^x-1 =0

            e^x=1

           ln(e^x)=ln(1)

           x = ln(1)

          ln(1) = 0

* positive soit e^x-1 >0

Tu l'avais fait plus haut !!

e^x >1

x> ln1

x>0

* et bien sûr quand f '(x) est négatif... ce qui est évident si on sait pour quelles valeurs de x , f '(x) est nulle et pour quelles valeurs de x f'(x) est positive

 

Donc on obtient le tableau suivant :

x              -oo                        0                    +oo

f'(x)                       _              ||0         +                 le double trait est FAUX

f                  décroissante     0     croissante     

 

C'est bien cela je crois,

Comment prouver maintenant que 1+x < e^x ∀ x ∈ ℝ ?

Tu vas avoir du mal à le démontrer puisque c'est FAUX. Relis l'énoncé !!! 

Pour la démonstration demandée, il suffit de regarder le tableau de variation de f.... (tu peux aussi pour t'aider regarder la courbe de f et tout particulièrement sa position par rapport à l'axe des abscisses.....

 

[Misawa]

Révélation

 

Révélation

 

 

[PAVE]

Donc c'est 0? Je ne comprends pas Fais une phrase....

Vous pouvez me donner la réponse s'il vous plait?

On voit par le tableau (ce que confirme  la courbe... que tu as tracée bien sûr) que

Quel que soit x € IR que f(x) est > ou = à...... ZERO !!

donc que e^x-x-1 0 soit e^xx+1 et donc que.... voir la question posée  et y répondre par une phrase rédigée .

 

[Misawa]

il y a 25 minutes, PAVE a dit :

!

 

 

[PAVE]

Quelle est la question ?

[Misawa]

!

[PAVE]

Quel que soit x € IR   f(x) 0 !! As tu VU  cela ? OUI ou NON ???

donc  e^x-x-1 0 

e^xx+1

1+x e^x

CQFD !!

[Misawa]

!

[PAVE]

il y a 2 minutes, Misawa a dit :

Je suis désolé, je fais de mon mieux pour essayer de comprendre et faire de moi même mais j'ai des difficultés en maths

Tu n'as pas à être désolé mais essaye de répondre à mes questions qui sont faites pour t'aider et pas pour juger si tu es bon ou pas en maths !!

Alors as tu VU et COMPRIS pourquoi f(x) est 0 pour toutes les valeurs réelles de x ?

Important car la question 2 est du même ... acabit .

Citation

J'ai commencé la question 2 :

g(x) =  (1-x)e^x                                                                                               (uv)' = u'v+uv', Sois u(x) =1-x, u'(x) = -1, v(x) = e^x et v'(x) = e^x

g'(x) = (-1)*(e^x)+(1-x)*(e^x) 

g'(x) = -e^x+e^x-xe^x

g'(x) = -xe^x

Ta dérivée est exacte. Comme te l'a dit Pzorba :

Citation

Tu continues, signe de g'(x), variation de g, extremum, puis conclusion.

 

 

 

[Misawa]

Pour la 2)

Je fais directement le tableau là?

il y a une heure, PAVE a dit :

              -oo                            0                           1

g'(x)                       +              |0            -                

g                  croissante        0        décroissante 

 

[PAVE]

Alors l'étude du signe de g'(x) suivant les valeurs de x ?

* g'(x) = 0  équivaut à...

* g'(x) > 0...

J'aurais bien aimé voir ton étude....

Mais bon dans ton tableau le signe de g'(x) est exact... mais pourquoi encore un trait rouge ?

Le sens de variation, on est d'accord mais g(0) est faux.

[Misawa]

il y a 7 minutes, Misawa a dit :

Pour la 2)

Je fais directement le tableau là?

 

Du coup

Nulle soit :

-xe^x = 0

      e^x = x

     ln(e^x) = ln(x)

      x = ln(x)

Positive soit :

-xe^x > 0

      e^x > x

     ln(e^x) > ln(x)

      x > ln(x)

 

Je ne suis vraiment pas sur.

 

Pour le signe, la trait c'est le zéro barré, c'est faux?

Et pour g(0) vous avez raison c'est 1.

 

 -oo                            0                           1

g'(x)                       +              |0            -                

g                  croissante        1        décroissante