Fonction

[chacha778]

Bonjour à tous, j'ai un devoir maison à faire mais je ne comprend pas

Voici mon exercice:

f est une fonction continue sur R, a et b sont deux réels tels que 0<a<b<1, f(a)=0 et f(b)=1

g est la fonction définie sur R par g(x)= f(x)-x

1. Démontrez que g(a) <0 et g(b)>0

2. Déduisez-en que l'équation f(x)=x admet au moins une solution dans l'intervalle ]0;1[

Le problème est que je bloque déjà pour la première question je pensais faire g(a)= f(a)-x soit 0-x et g(b)=f(b)-x soit 1-x mais mon raisonnement s'arrête ici

Pour la deuxième question je pensais faire un tableau de signe mais du coup elle est en lien avec la première question

J'aimerais avoir si possible des explications pour cet exercice, merci d'avance, bonne journée !

[pzorba75]

1) g(a)=f(a)-a=0-a=-a <=>g(a)<0 car a>0

g(b)=f(b)-b=1-b <=>g(b)>0 car 0<b<1

2) Application du théorème des valeurs intermédiaires, pas au programme de 1ère en France!

[chacha778]

Bonjour, donc pour la 1 en effet je viens de me rendre compte que j'avais laisser le x au lieu de mettre a et b

Pour la 2 j'ai bien vu le théorème de la TVI ( j'ai oublié de changer mon profil, la rectification vient d'être faite je suis bien en terminale) cependant, je ne l'ai pas vraiment compris..

[volcano47]

dans ton cas, le graphe de la fonction passe de g(a) <0 à g(b) >0 donc coupe  l'axe O x en étant continue (f(x) est continue) et croissante sur l'intervalle considéré (a<b et g(a)<g(b) ) ; lorsqu'une fonction g(x) coupe l'axe Ox en un point x0, cela signifie que g(x0) =0 

[chacha778]

Donc enfaite il y a bien au moins 1 solution car g(x) coupe l'axe Ox ?

[pzorba75]

Sans autres précisions sur g, il y a au moins une solution à g(x)=0. C'est le TVI dans toute son utilisation. Cours à revoir pour rédiger correctement, les professeurs en TS sont très exigeants avec ce théorème.

[chacha778]

Soit f fonction définie sur R. Si f est croissante et continue sur R alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) il existe au moins un réel x0 compris entre a et b tel que f(x0)=k. Celle-ci coupe obligatoirement au moins 1 fois Ox ( car g(a)<0 et g(b)>0 ) Ainsi d'après le théorème des valeurs intermédiaires, f(x)=x admet au moins 1 solution dans l'intervalle ]0;1[ ?

[julesx]

Attention, f n'a pas besoin d'être croissante, il suffit qu'elle soit continue pour que le TVI puisse s'appliquer. Dans ton cours, tu devrais avoir quelque chose du style :

TVI
Soit f définie sur [a;b]
Si f est continue sur [a;b] alors :
pour tout réel k compris entre f(a) et f(b)           ,
il existe au moins un réel x0 compris entre a et b tel que :  f(x0)=k.

Corollaire
Soit f définie sur [a;b]
Si f est continue et strictement monotone sur [a;b] alors :
pour tout réel k compris entre f (a) et f (b)
il existe un et un seul réel x0 compris entre a et b tel que :  f (x0) = k

[chacha778]

Oui en effet j'ai bien trouvé cela dans mon cours, merci beaucoup pour votre aide !