limite exponentielles

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous! 

La Lim en +∞ de  (3 - e^x) / (e^x - 1) vaut -1. Mais pourquoi?  Doit on considérer que cette expression equivaut en +∞  à  -e^x / e^x  ? Mais d'après quel principe ? Et n'a-t-on pas alors une indétermination de type  ∞ /∞  ?

Merci d'avance pour vos éclaircissements !

[Boltzmann_Solver]

il y a 6 minutes, C8H10N4O2 a dit :

Bonjour à tous! 

La Lim en +∞ de  (3 - e^x) / (e^x - 1) vaut -1. Mais pourquoi?  Doit on considérer que cette expression equivaut en +∞  à  -e^x / e^x  ? Mais d'après quel principe ? Et n'a-t-on pas alors une indétermination de type  ∞ /∞  ?

Merci d'avance pour vos éclaircissements !

Bonjour,

Cette limite peut être calculée de plusieurs manières.

Mais pour le moment, essayons de simplifier un peu le problème. Sais tu calculer la limite en + infini de (3-x)/(x-1) ?

[Barbidoux]

Il y a 3 heures, C8H10N4O2 a dit :

La Lim en +∞ de  (3 - e^x) / (e^x - 1) vaut -1.

(2+1-exp(x))/(exp(x)-1)=2/(exp(x)-1)-1  et lorsque x-> ∞ ....

[C8H10N4O2]

Merci pour vos  réponses! 

Boltzmann, oui pour une fraction rationnelle, à l'infini les deux polynômes sont équivalents à leur monôme de plus haut degré et donc en + ∞, (3-x) / (x-1) équivaut à (-x/x) . Dès lors, la limite vaut -1. 

Mais peut-on procéder de la sorte avec un monôme qui est une exponentielle ?

 

[Boltzmann_Solver]

il y a 4 minutes, C8H10N4O2 a dit :

Merci pour vos  réponses! 

Boltzmann, oui pour une fraction rationnelle, à l'infini les deux polynômes sont équivalents à leur monôme de plus haut degré et donc en + ∞, (3-x) / (x-1) équivaut à (-x/x) . Dès lors, la limite vaut -1. 

Ce résultat est hors programme en TS (on ne connait pas les équivalents, ni les DL). Si tu as fait une TS, te souviens tu de comment on faisait à cette époque pour lever l'indétermination ?

[C8H10N4O2]

Mes souvenirs de TS sont assez lointains, mais je suppose que j'aurais factorisé numérateur et dénominateur par x, d'où  ((3/x) -1) / (1 - (1/x)) . Les termes en 1/x ayant une limite nulle à l'infini, on retrouve -1 comme limite du quotient.

[Boltzmann_Solver]

il y a 12 minutes, C8H10N4O2 a dit :

Mes souvenirs de TS sont assez lointains, mais je suppose que j'aurais factorisé numérateur et dénominateur par x, d'où  ((3/x) -1) / (1 - (1/x)) . Les termes en 1/x ayant une limite nulle à l'infini, on retrouve -1 comme limite du quotient.

C'est exactement ça ! En appliquant le même principe, tu devrais pouvoir calculer ta limite proprement. Ou au pire, tu peux t'en sortir avec la limite des fonctions composées mais ce n'est pas le plus pertinent ici.

[C8H10N4O2]

 Oui, il n'y a d'ailleurs alors qu'un pas de cette factorisation aux equivalents puisque c'est ce qui nous permet d'affirmer que le rapport de -x et de (3-x) tend vers 1, ce qui est la définition d'expressions équivalentes en un voisinage donné.

Ma question initiale demeure donc : puis-je écrire (3-e^x) / (e^x -1) ≈ (-e^x / e^x) au voisinage de l'infini positif comme on le fait avec un polynôme "classique "?

 

[Boltzmann_Solver]

il y a 8 minutes, C8H10N4O2 a dit :

 Oui, il n'y a d'ailleurs alors qu'un pas de cette factorisation aux equivalents puisque c'est ce qui nous permet d'affirmer que le rapport de -x et de (3-x) tend vers 1, ce qui est la définition d'expressions équivalentes en un voisinage donné.

Ma question initiale demeure donc : puis-je écrire (3-e^x) / (e^x -1) ≈ (-e^x / e^x) au voisinage de l'infini positif comme on le fait avec un polynôme "classique "?

 

Non, ça ne se fait pas car tu appliques sans le dire le théorème des croissances comparées sans faire les comparaisons. Ca te fera faire beaucoup d'erreurs.

[C8H10N4O2]

Très bien. Merci pour ces informations, je m'en tiendrai à la résolution par factorisation alors !