Devoir Maison Suite TS

[Misawa]

Bonjour à tous,

J'ai ce devoir maison à faire et je ne l'ai pas vraiment compris, comment faire.

Si quelqu'un aurait la gentilesse de m'aider, me montrer comment faire ce serait gentil de votre part.

Voilà l'énoncé :

[C8H10N4O2]

Bonjour, 

Pour la première question, en un même temps t, le cycliste parcourt une distance d₁ = 8km à sa vitesse v₁ = 32km/h et l'oiseau parcourt une distance d₂ inconnue à une vitesse qu'on estime constante v₂ = 48 km/h . Il te suffit donc de résoudre d₂ = v₂. (d_1/v₁) 

Pour la deuxième question, la valeur initiale est évidemment d₁ =8 . 

[Misawa]

De ce fait :

[C8H10N4O2]

C'est bien cela !

[Misawa]

D'accord très bien !

Du coup pour la question 2 comment faire ?

[C8H10N4O2]

Commence par exprimer la vitesse du pigeon Vp en fonction de celle du cycliste  Vc . On trouve V_p = 3/2 V_c . On considère donc qu'à chaque étape, d_p = 3/2 d_c . Or d_p = 2d_n + d_c 

On a donc 2d_n + d_c = 3/2 d_c , soit d_n = 1/4 d_c . Or d_c = ( d_n-1 - d_n ) . De d_n = 1/4 ( d_n-1 - d_n) ,  on déduit d_n = 1/5 d_n-1 , ce qui suffit à montrer que (d_n) est géométrique de raison q= 1/5

[Barbidoux]

En ce qui concerne la première question j'aurais répondu 8 km

En ce qui concerne la seconde, le temps étant le même pour le pigeon et le cycliste,  j'aurais écrit que  (d_n-d_n+1)/32=(d_n+d_n+1)/48. ce qui conduit à une suite géométrique de premier terme égal à 8 et de raison égale à 1/5.

[C8H10N4O2]

d_p vaut pour "distance pigeon" , d_c pour "distance cycliste". 

[Misawa]

Pourquoi vous dites que c'est 8km la distance parcourue, quelle est votre justification @Barbidoux s'il vous plait?

Merci bien @C8H10N4O2

[Barbidoux]

il est demandé la distance parcourue par le pigeon entre le moment où il passe la première fois sur le cycliste jusqu'à son arrivée, et comme il reste  8 km à parcourir pour le cycliste .... Question simpliste dont le rôle est  de fournir le premier terme d₁ de la suite d_n. Mais si l'on comprend que l'on demande la distance totale parcourue par le pigeon jusqu'à l'arrivée du cycliste au terme de son parcours il faut répondre 8*48/32=12 km le temps étant le même pour le cycliste que pour le pigeon. 

[Misawa]

Ah oui d'accord et du coup pour la question 2, vous pouvez me reformuler votre réponse en étant plus détaillez dans les calculs s'il vous plaît?

[Barbidoux]

le temps mis par le cycliste pour parcourir la distance d_n-d_n+1 qui vaut ( d_n-d_n+1)/32 est égal à celui que met le pigeon pour parcourir la distance d_n+d_n+1 qui vaut (d_n+d_n+1)/48 voir figure jointe ce qui conduit à d_n+1=d_n/5. Ensuite calculer d₅ ou d_n<1 ne devrait pas poser de problèmes particuliers.

[C8H10N4O2]

il y a 15 minutes, Barbidoux a dit :

il est demandé la distance parcourue par le pigeon entre le moment où il passe la première fois sur le cycliste jusqu'à son arrivée, et comme il reste  8 km à parcourir pour le cycliste .... Question simpliste dont le rôle est  de fournir le premier terme d₁ de la suite d_n. Mais si l'on comprend que l'on demande la distance totale parcourue par le pigeon il faut répondre 8*48/32=12 km le temps étant le même pour le cycliste que pour le pigeon. 

L'énoncé de la 1ère question dit bien "jusqu'à l'arrivée du cycliste" La réponse est donc bien 12km

[Misawa]

Oui c'est bien ce que je pensais @C8H10N4O2

il y a 32 minutes, C8H10N4O2 a dit :

Commence par exprimer la vitesse du pigeon Vp en fonction de celle du cycliste  Vc . On trouve V_p = 3/2 V_c . On considère donc qu'à chaque étape, d_p = 3/2 d_c . Or d_p = 2d_n + d_c 

On a donc 2d_n + d_c = 3/2 d_c , soit d_n = 1/4 d_c . Or d_c = ( d_n-1 - d_n ) . De d_n = 1/4 ( d_n-1 - d_n) ,  on déduit d_n = 1/5 d_n-1 , ce qui suffit à montrer que (d_n) est géométrique de raison q= 1/5

Et en ce qui concerne la question 2, je ne comprends pas vraiment ce que vous avez fait, il n'y a pas plus simple?

[C8H10N4O2]

Le schéma de Barbidoux est limpide et sa réponse aussi. On dit la même chose de manière différente : moi j'ai raisonné comme sur la question classique "le lièvre part avec 100m de retard sur la tortue, celle-ci ayant une vitesse vingt fois moindre, quelle distance aura parcouru le lièvre lorsqu'il rattrapera la tortue? " 

Pour faire simple (d_n) est la suite des distances qui séparent le cycliste de l'arrivée. Or si tu fais un petit schéma du type de celui de Barbidoux, tu te rends compte que à chaque étape, la distance parcourue par le cycliste vaut la distance qu'il lui restait à parcourir lors du dernier passage du pigeon moins celle qui le sépare maintenant de l'arrivée. 

C'est ce que traduit : d_c = (d_n-1 - d_n)  (1) 

Passons maintenant à la distance parcourue par le pigeon. D'une part elle vaut 1,5 d_c , puisque les vitesses sont dans un rapport 3/2 , et d'autre part, toujours avec le même petit schéma, on se rend compte que cette distance vaut 2d_n + d_c . On a donc 1,5d_c = 2d_n + d_c , ce qui donne d_n = 1/4 d_c  (2) 

Des égalités  (1) &(2) , on déduit d_n = 1/4 (d_n-1 - d_n) , d'où 5/4 d_n = 1/4 d_n-1 et enfin : d_n = 1/5 d_n-1  . Chaque terme est bien égal au produit du terme précédent et d'un facteur constant : il s'agit d'une suite géométrique. Le rapport de deux termes consécutifs nous donne la raison q= 1/5 = 0,2 

[Misawa]

D'accord @C8H10N4O2, j'ai bien revu de mon côté, j'ai compris et du coup pour les questions 3 et 4 il faut utiliser d_n = 1/5 d_n-1  ?

[C8H10N4O2]

Oui c'est bien cela, par exemple pour la 3e question, d₅ = d₁ . (1/5) ⁴

[Misawa]

Pour la 3) Je trouve d₅ = 8 . (1/5) ⁴

                                    d₅ = 8/625

Est ce normal?

PS : Vous êtes sur c'est (d_n-1 - d_n) et pas plutôt (d_n-d_n+1) ?? (pour la question 2)

[C8H10N4O2]

Oui c'est normal, ça correspond à 12,8m .

Et d_n-1 - d_n équivaut à d_n - d_n+1 , ça signifie simplement la différence entre un terme de rang arbitraire et le suivant.

[Misawa]

@C8H10N4O2 Ah oui d'accord je comprends mieux. 

Mais je trouve 0,0128 c'est en km ?

Du coup 12,8m?

[C8H10N4O2]

Il y a 1 heure, C8H10N4O2 a dit :

Oui c'est normal, ça correspond à 12,8m .

 

[Misawa]

Et donc du coup pour la dernière question on utilise d_n-1 - d_n ?

[Barbidoux]

il suffit de résoudre 8*(1/5)^n<0.001

[Misawa]

D'accord très bien

 

[Misawa]

Donc on obtient :

8 * (1/5)ⁿ < 0,001

(1/5)ⁿ < 0,001/8

C'est cela? @C8H10N4O2

 

Révélation