URGENT DM DE 1ER

[Thomas.C]

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour un DM de 1er Sti2d sur les suite, merci d'avance pour votre aide.

[Invité]

Bonjour,

Remarquer que les nombres  à droite sont les carrés successifs 1², 2², 3²,...

Le carré immédiatement supérieur à 2005 est 45²=2025 La ligne où se situe 2005 se termine donc par 2025. Elle commence par 44²+1 =1937

Au milieu de cette ligne se trouve le nombre (1937+2025)/2=1981

2005-1981=24.

Le nombre 2005 est donc décalé de 24 places par rapport au milieu. Il se trouve donc à l'aplomb du nombre 25²=625

2005 est donc repéré par le couple (1937, 625)

 

Sauf erreur...

[Denis CAMUS]

Alors ça, c'est du jus de neurones !

[Invité]

Tout reste à faire, Denis, tout : conjectures, récurrences...  Et que se passe-t-il si au lieu d'être décalé vers la droite par rapport au milieu, le nombre l'est sur la gauche ? Le cas général, quoi ! Quiconque s'y connaît quelque peu en maths, et c'est ton cas,  le sait fort bien.

Thomas va s'y employer. Mais quand même, je trouve que 4 points pour cet exo en 1^ère, ce n'est pas cher payé.

 

[pzorba75]

Je suis surpris de voir des exercices basés sur le raisonnement par récurrence posés en classe de première. Je ne rencontre la démonstration par récurrence qu'avec des TS,  jamais avec des TES.

J'attends la réponse complète de l'élève...

[Thomas.C]

Je ne comprends pas du tout, je ne comprends pas la démarche

[pzorba75]

La réponse JLN est tout à fait brillante, mais elle ne vaut que pour placer 2005.

Sur cette base, il faut émettre une conjecture et la démonter par récurrence pour tout nombre N en indiquant N(i;j), i le numéro de la ligne et j le numéro de la colonne.

Ce qui n'est pas simple à écrire correctement.

C'est cette démonstration par récurrence que nous attendons dès que tu auras la réponse de ton professeur.

[julesx]

D'après le texte officiel, le raisonnement par récurrence ne semble effectivement pas au programme de 1ère Sti2d. Par contre une étude, au moins partielle, des suites y est. Dans cette optique, une partie de l'étude pourrait se faire comme suit :

* Le nombre u_n de carrés de chaque ligne forme une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 1. On a donc u_n=2n-1si on commence à n=1.

* Comme le dernier nombre de la ligne n est égal au total des cases précédentes, ce nombre est aussi égal à la somme des u_k de 1 à n, soit n(1+2n-1)/2=n² (cf. somme des termes d'une suite arithmétique).

Partant de là, comme dit précédemment, il faut n²>2005, d'où n=45.

Par contre, pour la suite...