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Etude d'une fonction


chacha778
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Bonjour à tous, j'ai un exercice à faire mais je bloque, ce qui fais que je ne vois pas trop comment aborder mon exercice

On considère la fonction fdéfinie pour tout x différent de -k par f(x) = x+1 + k/(x+k). K désigne un nombre réel fixé. On note Ck la courbe représentative de la fonction fk repère orthonormé.

1. Quelle est la nature de C0 ?

Je pense que c'est une courbe mais je ne vois pas trop comment l'expliquer

Dans toute la suite on prendra k différent de 0

2. Montrer que pour tout x différent de -k, f'k(x) = (x+k)2 - k / (x+k)2

Je sais que la formule est u'v - v'u/ v2 mais comme il y a x-1 cela me perturbe du coup je ne sais pas si c'est la bonne formule à faire ici

3. Montrer que l'origine appartient à toutes les courbes Ck

4. Quelle est l'équation de la tangente à Ck à l'origine ?

5. On suppose que k > 0

a. Montrer que fk a deux extremums : ak = -k - racine de k et bk = -k + racine de k

b. Vérifier les égalités fk(ak) = -(racine de k +1)2 et fk(bk) = -(racine de k - 1)2

c. Étudier les variation de fk. Tracer le tableau de variation de fk et donner les limites de fk en + l'infini et - l'infini

d. On note Ak et Bk les points de Ck d'abscisses respectives ak et bk. Montrer que (AkBk) a pour équation y = 2x-1+k

e? En déduire que les droites (AkBk) sont toutes parallèles

6. On suppose que k<0

a. Étudier les variations de fk. Tracer le tableau de variation de fk et donner les limites de fk en + l'infini et - l'infini

b. Montrer que Bk admet 2 points Ek et Fk où la tangente admet un coefficient directeur égal à 2

c. Prouver que toutes les droites (EkFk) sont parallèles à l'axe des abscisses

7. A l'aide d'un logiciel de géométrie, tracer les courbes C1, C-1 et C3

Merci d'avance pour vos explications car je ne comprend vraiment pas cet exercice !

 

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"Je pense que c'est une courbe "

Quelle est la nature de la courbe Ck pour k=0 ? C'est une courbe , youpi !

fais comme dit Boltzmann !

"Je sais que la formule est u'v - v'u/ v2

non ! la formule est f '(u(x)/v(x)) = (u'v-uv') /v² : les parenthèses sont indispensables ! en effet, f'k(x) = (x+k)2 - k / (x+k)2est  faux

 

 

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Bonjour, en faisait f(0) je trouve -1 + (k/k) ? en remplaçant les x par 0 bien sur mais je ne vois pas quelle sorte d'équation je suis censé trouver ?  

Pour la question 3, la formulation est celle qui est écrite dans mon exercice soit celle que j'ai écrite sur ce forum

Erreur de ma part, je trouve y = x + 1

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  • E-Bahut

Je suppose que tu parles de la relation (u/v)'=(u'v-uv')/v², si ce n'est pas le cas, ne tiens pas compte de ce post.

Comme au départ, f(x) n'est pas donnée sous forme de fraction, si tu veux utiliser la relation précédente, deux possibilités :

* réduire f(x) au même dénominateur pour avoir effectivement une fraction, mais ça complique les calculs

* dériver x-1 à part et appliquer uniquement la relation au terme k/(x+k) puis terminer en ajoutant les deux dérivées et en réduisant au même dénominateur pour retrouver l'expression donnée dans l'énoncé. Mais ...

Vu que le numérateur de k/(x+k) est constant, il est plus simple de traiter k/(x+k) comme un terme de type k/u donc, dont la dérivée est -k/u², soit -k/(x+k)². Il suffit alors de lui ajouter la dérivée de x-1 et de réduire au même dénominateur.

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ce qu'on désigne par fk, c'est une famille de courbe dépendant du nombre k ; elles passent toutes par le point origine (0,0) comme on l'a vu. Mais la dérivée est une dérivée par rapport à la variable x (par définition !) et k n'intervient pas dans le calcul de la dérivée proprement dite c'est un nombre, c'est tout.

La dérivée f'k(x) est la somme de la dérivée de x-1 ( car c'est bien x-1 , n'est-ce pas ? et pas x+1 ?) et de la dérivée de k/(x+k) donc:

f' k (x) = 1 - k /(x+k)² et si on n'oublie pas les parenthèses , en réduisant au même dénominateur on trouve bien ce que dit l' énoncé

Pour la tangente au point (x0,y0)

On sait (en principe) que si elle s'écrit de manière la plus générale y =ax +b

 - son coefficient directeur "a" sera la valeur de la dérivée au point considéré x0 soit f 'k (x0)

- on écrit donc que le coefficient directeur = le coefficient directeur !; quelque soit un point de coordonnées (x,y) appartenant à la tangente en M0(x0,y0) , le coefficient directeur est donné par (y -y0) /(x-x0) (cours de troisième et seconde , je crois).

On écrit les deux expressions du coefficient directeur

a = (y-y0) /(x-x0) = f' k (x0) (tu retrouves évidemment la formule du cours)

dans ton cas qui est plus simple, tu as x0 =0 et y0 =0 (toutes les courbes de la famille k  passent par l'origine) et on t' a fait calculer la dérivée (pour tout k) ;

Ici, la tangente a toutes les courbes C passe par l'origine donc l'équation est y = ax (fonction linéaire b=0)

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  • E-Bahut

Petite faute de frappe, c'est fk'(x), à part cela, c'est ça, sauf que l'énoncé suggère de garder x²+2kx+k² sous la forme du carré (x+k)².

A noter qu'avec ma suggestion, on a immédiatement fk'(x)=1-k/(x+k)²=((x+k)²-k)/(x+k)².

Modifié par julesx
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La dérivée va s'annuler lorsque le numérateur de fk'(x)=((x+k)²-k)/(x+k)² sera nul. 

On doit donc résoudre (x+k)²-k=0 

Inutile de "faire Delta", cette équation est équivalente à (x+k)²=k qui se résout immédiatement sans calcul pour ainsi dire (d'où l'intérêt de ne pas développer le carré)

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  • E-Bahut

Tu as du voir au cours de tes études que, à condition que b soit soit positif, l'équation a²=b a pour solutions a=-√b et a=√b. Ce n'était peut être pas exactement sous cette forme, mais peut être sous forme de conséquence de l'équation a²=b², mais peu importe.

Ceci explique en particulier pourquoi on se limite ici  à k positif, le cas k négatif étant envisagé à la question 6.

Donc, partant de là, les deux valeurs de x vérifient x+k=-√k et x+k=√k. Je te laisse continuer dans cette optique et je te dis bonsoir.

 

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ak et bk sont les abscisses des points où la dérivée s'annule. Pour savoir si ces abscisses correspondent à des extremums il faut étudier les variations de la fonction. (de ce point de vue l'énoncé est mal fait car la dérivée peut s'annuler sans qu'il s'agisse d'un extremum).

Commencer par calculer fk(ak) et fk(bk) puis faire le tableau de variations.

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Il est dit dans l'énoncé que fk(ak) = -(racine de k +1)2 et fk(bk) = -(racine de k - 1)2  mais comment peut-on le démontrer ? Ainsi, je peux faire mon tableau de variation en me servent de ces égalités ci, est-ce correct si je développe le carré ?

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  • E-Bahut
Il y a 14 heures, JLN a dit :

ak et bk sont les abscisses des points où la dérivée s'annule. Pour savoir si ces abscisses correspondent à des extremums il faut étudier les variations de la fonction. (de ce point de vue l'énoncé est mal fait car la dérivée peut s'annuler sans qu'il s'agisse d'un extremum).

Commencer par calculer fk(ak) et fk(bk) puis faire le tableau de variations.

Bonjour JLN,

Vu que le tableau de variation n'est demandé que plus tard, peut-être que l'auteur souhaitait qu'on se base sur le fait que le signe de la dérivée est celui du trinôme au numérateur. Comme celui-ci change de signe au passage des racines, distinctes ici, la dérivée s'annule et change de signe pour deux valeurs de x, ce qui correspond bien à deux extremums de la fonction.

Mais ce que j'en dis...

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Bonjour julesx,

Oui, c'est possible, et il est vrai que le cours (je viens de vérifier sur le net), après avoir défini ce qu'est un extremum, global ou local, précise que l'annulation de la dérivée est une condition nécessaire, mais pas suffisante et qu'il faut en plus qu'elle change de signe au point considéré.

Le problème est donc bien posé et j'ai eu tort de finasser.

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