Dernières révisions; inéquation

[Fleurisa]

Bonjour,

J'ai une inéquation à résoudre : x(x+3)>0.

La correction est x<0 ou x>3. Je comprends x>3 mais pas x<0 car je trouve x>0. Pourriez vous m'expliquer s'il vous plait ?

[C8H10N4O2]

Cette inégalité est vérifiée pour x € ]-∞;-3 [ U ]0;+∞[ . Faire un tableau de signes pour s'en convaincre, ou développer et considérer que le polynôme est positif à l'extérieur des racines , -3 et 0 .

[Fleurisa]

Bonjour,

Merci beaucoup pour cette réponse.

Je suis désolée mais je ne comprends pas ce que signifie : " considérer que le polynôme est positif à l'extérieur des racines ". Pourriez-vous m'expliquer s'il vous plait ?

[Barbidoux]

un polynôme du troisième degré qui admet des racines réelles est du signe du coefficient de x^2 à l'extérieur de ses racines et du coefficient de x^2 s'il n'admet pas de racines réelles.

[C8H10N4O2]

En développant, x (x+3) devient x²+3x , c'est un polynôme du second degré, de type ax²+bx+c ,( a ≠0). Tu apprendras très bientôt qu'un tel polynôme a soit : aucune racine (c'est à dire qu'aucune valeur de x n'annule le polynôme ), et alors il est du signe de a sur R (cela apparaît clairement une fois l'expression mise sous sa forme dite 'canonique'); soit deux racines x₁ et x₂. On montre que le polynôme peut alors se factoriser en a [(x-x₁).(x-x₂)] et tu comprends alors avec un tableau de signes que l'expression entre crochets est positive sur ]-∞; x₁ x₂ ; +∞[ , c'est à dire 'à l'extérieur des racines'. Le polynôme est donc du signe de a sur ce même intervalle et du signe opposé entre les racines. 

Les racines de ton expression étant -3 et 0 on a bien x.(x+3) > 0 sur ]-∞; -3 [ U ] 0 ; +∞[ 

Mais en seconde, un tableau de signes pour justifier l'ensemble solution d'une inéquation est largement suffisant. 

[C8H10N4O2]

Il y a un petit bug sur mon post précédent. L'intervalle sur lequel l'expression entre crochets est positive est ]- ∞;  x₁ [ U ] x₂; + ∞  [