Courbe fonction du second degré

[C8H10N4O2]

Bonjour à toutes et tous! 

Je souhaiterais savoir comment exprimer l'équation y= 2x²+8x+7 d'une courbe (C) sous la forme Y=aX² suite à un changement d'axes par translation. 

J'ai commencé par considérer y'=x²+4x+(7/2) = (x+2)²-1/2 d'une courbe  (C'), dont un point M' quelconque a pour coordonnées  (x,y'). Un point M de la courbe d'équation y=x²  d'abscisse x+2 a donc pour coordonnées ( x+2 ; y' + 1/2 ) . Dès lors, le vecteur MM' a pour composantes ( x-(x+2) ; y'-(y'+1/2) ) , soit (-2 , -1/2 ). On passe donc de la courbe y=x² à  (C') par la translation -2i - 1/2j . 

Mais ensuite je bloque et je ne vois pas trop comment en déduire la translation de la courbe y = x² à ( C ) ...

Si vous avez des idées, je suis preneur !

Merci d'avance! 

[Barbidoux]

y=2*x^2+8*x+7=2*(x+2)^2-1

on pose Y=y+1 et X=(x+2) ==>Y-1=2*X^2-1 ==>  Y=2*X^2

le graphe de Y est le translaté de vecteur {2,1} du graphe de y

[Invité]

Barbidoux (que je salue) a été plus rapide...Bonjour C8H10...

[Barbidoux]

Salut JLN . En temps normal je me  me prélasse sur la plage ....  Un mistral et une tramontane de plus de 80 km/h expliquent ma présence et ma réponse à cette heure de la journée sur e-bahut . Manger du sable rassasie vite...

[C8H10N4O2]

Bonsoir JLN, bonsoir Barbidoux, merci pour vos réponses si promptes.

[Denis CAMUS]

Bonjour C8H10N4O2,

Tu ne sévirais pas sur Futura sous un autre pseudo par hasard ?

[C8H10N4O2]

Eh bien non, j'ai été assez actif sur Cyberpapy avant sa fermeture, mais je ne connais pas Futura... Pourquoi cette question? 

[C8H10N4O2]

Le Monday, July 24, 2017 at 18:31, Barbidoux a dit :

y=2*x^2+8*x+7=2*(x+2)^2-1

on pose Y=y+1 et X=(x+2) ==>Y-1=2*X^2-1 ==>  Y=2*X^2

le graphe de Y est le translaté de vecteur {2,1} du graphe de y

À la réflexion, cette réponse ne serait-elle pas un peu tautologique ? Poser Y=y+1 et X=x+2 équivaut à la translation en question, de sorte qu'on admet ce qu'on souhaite démontrer...Toute la question étant de savoir comment faire pour trouver les relations entre (X,Y) et (x,y)

[C8H10N4O2]

Je raisonne de la façon suivante : soit f₁(x) = 2x²+8x+ 7 = 2 (x+2)² -1 et M₁ un point de sa courbe (x; f₁(x) )

Considérons maintenant f₂(x) = 2x² et M₂ un point de sa courbe d'abscisse x+2 : ( (x+2) ; f₁(x) +1 ) 

Le vecteur M₁M₂ a donc pour coordonnées -2 ; -1 , ce qui signifie qu'on passe de la courbe de f₂ à celle de f₁ par la translation -2i -j . 

 

Enfin bon, c'est une autre manière de dire la même chose, mais ça me semble plus rraisonnable que de simplement poser les relations entre les coordonnées en x,y et celles en X,Y .

[Invité]

Ce n'est pas tout à fait la même chose. Ce sont 2 points de vues différents.

1/ Barbidoux (et j'aurais fait de même) effectue un changement d'axes de coordonnées. La courbe représentative est fixe et on cherche s'il existe  un système d'axes dans lequel son équation  soit Y=2X²

2/ Vous conservez le système d'axes et vous cherchez s'il existe une translation qui permette de passer de la courbe f₁ à la courbe f₂. Vous dites, que si une telle transformation existe, alors le point (x, f1(x)) de la première  doit devenir le point (x+a, y+b) de la seconde et comme vous avez mis f1 sous forme canonique, on voit bien que la solution a=2, b=1, convient.

 

.

[Invité]

Encore un mot. Je ne vous suis pas quand vous dites "plus raisonnable, etc...". Avouez que les 2 courbes entre lesquelles vous cherchez s'il y a une translation ne sont pas tout à fait prises au hasard. En fait, le procédé classique est bien le changement d'axes et  l'expression des nouvelles coordonnées en fonction des anciennes dans ce changement (tout un chapitre de l'algèbre linéaire tourne autour de ça) qui peut être un peu plus compliqué qu'une translation.

[C8H10N4O2]

Il y a 9 heures, JLN a dit :

Encore un mot. Je ne vous suis pas quand vous dites "plus raisonnable, etc...". Avouez que les 2 courbes entre lesquelles vous cherchez s'il y a une translation ne sont pas tout à fait prises au hasard. En fait, le procédé classique est bien le changement d'axes et  l'expression des nouvelles coordonnées en fonction des anciennes dans ce changement (tout un chapitre de l'algèbre linéaire tourne autour de ça) qui peut être un peu plus compliqué qu'une translation.

Oui je reconnais que 'raisonnable' n'était pas le bon terme. Mais comment trouver alors les coordonnées de l'origine du nouveau repère ?

[Invité]

On est là dans un cas très simple. La courbe qui représente y=ax²+bx+c est une parabole d'axe parallèle à Oy et de sommet S(-b/2a , y(-b/2a))

Dans le cas présent y=2x²+8x+7 , on aura S(-2, -1). On va donc prendre pour nouveaux axes (SX, SY) les droites d'équations x+2=0 et y+1=0

Vectoriellement,  OM= OS+SM , d'où, par projection, les relations entre anciennes et nouvelles coordonnées d'un point x=-2+X et y=-1+Y et l'équation dans les nouveaux axes

-1+Y=2(-2+X)²+8(-2+X)+7 , soit , réduction faite, Y=2X².

Mais il est plus simple dans ce cas  de faire la réduction en carrés (mise sous forme canonique) et d'en déduire immédiatement les nouveaux axes car on part d'une parabole dont on sait que les axes et tangentes au sommet sont // aux axes de coordonnées.

Dans le cas général d'une conique d'équation ax²+by²+cxy+dx+ey+f=0, on peut faire une réduction en carrés, mais comme elle n'est pas unique, il n'est pas certains que les nouveaux axes ainsi déterminés soient orthogonaux. Par contre on montre qu'il existe toujours un système d'axes orthogonaux dans lequel l'équation prend une forme canonique simple.

Mais c'est une autre histoire...

[Denis CAMUS]

Il y a 16 heures, C8H10N4O2 a dit :

Eh bien non, j'ai été assez actif sur Cyberpapy avant sa fermeture, mais je ne connais pas Futura... Pourquoi cette question? 

Parce que j'ai vu le pseudo C2H5OH et j'ai fait un vague rapprochement.

[C8H10N4O2]

Il y a 3 heures, JLN a dit :

On est là dans un cas très simple. La courbe qui représente y=ax²+bx+c est une parabole d'axe parallèle à Oy et de sommet S(-b/2a , y(-b/2a))

Dans le cas présent y=2x²+8x+7 , on aura S(-2, -1). On va donc prendre pour nouveaux axes (SX, SY) les droites d'équations x+2=0 et y+1=0

Vectoriellement,  OM= OS+SM , d'où, par projection, les relations entre anciennes et nouvelles coordonnées d'un point x=-2+X et y=-1+Y et l'équation dans les nouveaux axes

-1+Y=2(-2+X)²+8(-2+X)+7 , soit , réduction faite, Y=2X².

Mais il est plus simple dans ce cas  de faire la réduction en carrés (mise sous forme canonique) et d'en déduire immédiatement les nouveaux axes car on part d'une parabole dont on sait que les axes et tangentes au sommet sont // aux axes de coordonnées.

Dans le cas général d'une conique d'équation ax²+by²+cxy+dx+ey+f=0, on peut faire une réduction en carrés, mais comme elle n'est pas unique, il n'est pas certains que les nouveaux axes ainsi déterminés soient orthogonaux. Par contre on montre qu'il existe toujours un système d'axes orthogonaux dans lequel l'équation prend une forme canonique simple.

Mais c'est une autre histoire...

Merci, c'est limpide

[C8H10N4O2]

Il y a 2 heures, Denis CAMUS a dit :

Parce que j'ai vu le pseudo C2H5OH et j'ai fait un vague rapprochement.

On est quand même sur des stimulants de nature différente...