Une Dérivée Compliquée ?

[Hug24]

Bonjour à tous ! 

J'ai un exercice auquel je n'ai pas compris la méthode de dérivation, qui est  fk (x) = x + ( (1-kx^2) / (1+kx^2) ) où k est un réel positif ou nul 

Je n'arrive pas à dériver cette fonction, pouvez vous m'aider ? 

[volcano47]

x a pour dérivée 1 et le deuxième terme est de la forme u/v

u =1-kx² ,  u' = - 2kx et de même v' = 2kx

je trouve f 'k = 1- 4kx /(1+kx²)²  sauf étourderie

[Hug24]

C'est sur ce calcul que je m'étais arrêté mais mon prof' nous a dit que pour cette dérivée, on devait arriver à fk'(x) = x+1, ce que je n'arrive malheureusement pas..

À moins qu'en développant 4kx / (1+kx^2) on y arrive ? 

[Hug24]

Bonjour ! J'ai un exercice non compris où f'(x) = 1- ( 4kx / (1+kx^2)^2 ) et f (x) =  x +  ( (1-kx^2) / (1+kx^2) ) avec k 0 

Il faut démontrer que pour tout réel k 0 ; la droite D' d'équation y = x+1 est tangente à fk (x) 

Pouvez vous m'aider ? C'est pour demain et j'ai peur d'y passer la nuit :/

[Denis CAMUS]

2 sujets fusionnés. Reste sur le même fil tant qu'il s'agit du même devoir.

[Barbidoux]

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fk(x)=x+(1-k*x^2)/(1+k*x^2)=x+(1+k*x^2-2*k*x^2)/(1+k*x^2)=x+1-2*k*x^2/(1+k*x^2)  (terme <0) donc fk(x)≤ x+1 ce qui montre que l'ensemble des graphes des fonctions fk((x) se trouvent situées en dessous de la droite y=x+1 ou sont tangents cette droite. Lorsque x=0 alors fk(0)=1. Le point {0,1} appartrenant à y on en déduit que la droite y=x+1 est une tangente commune en x=0 à tous les graphes  fk(x).
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[Hug24]

Il y a 6 heures, volcano47 a dit :

x a pour dérivée 1 et le deuxième terme est de la forme u/v

u =1-kx² ,  u' = - 2kx et de même v' = 2kx

je trouve f 'k = 1- 4kx /(1+kx²)²  sauf étourderie

 

il y a une heure, Barbidoux a dit :

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fk(x)=x+(1-k*x^2)/(1+k*x^2)=x+(1+k*x^2-2*k*x^2)/(1+k*x^2)=x+1-2*k*x^2/(1+k*x^2)  (terme <0) donc fk(x)≤ x+1 ce qui montre que l'ensemble des graphes des fonctions fk((x) se trouvent situées en dessous de la droite y=x+1 ou sont tangents cette droite. Lorsque x=0 alors fk(0)=1. Le point {0,1} appartrenant à y on en déduit que la droite y=x+1 est une tangente commune en x=0 à tous les graphes  fk(x).
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Ne faut il pas s'aider de fk'(x) ?

[Barbidoux]

Il faut démontrer que pour tout réel k≥ 0 ; la droite D' d'équation y = x+1 est tangente à fk (x)
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Deux méthodes pour cette démonstration
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On étudie les positions relatives des graphes de y=x+1 et de fk(x). On démontre que les graphes de fk(x) sont tous situés en dessous de y ou tangents à cette droite puisque fk(x)-y=-2*k*x^2/(1+k*x^2) est une quantité négative. On en déduit que tous les graphes de f(k) ont un point commun {0,1} obtenu pour x=0 et qu'en ce point la droite y leurs est tangente puisque fk(0)-y=0. Conclusion  tout réel k≥ 0 ; la droite D' d'équation y = x+1 est tangente à fk (x) en {0,1}
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La dérivée de fk(x) qui vaut fk'(x)=1-4k*x /(1+k*x^2)^2 prend pour valeur 1 pour x=0 , ce qui signifie que tous les graphes de fk(x) admettent une tangente de pente 1 en x=0. Les graphes fk(x) ayant en commun le point {0,1} on en déduit que la droite passant par ce point de pente 1 soit y=x+1 est une tangente commune à tout ces graphes.

La première méthode à l'avantage de ne pas avoir à calculer l'expression de la dérivée.

[Hug24]

Le Wednesday, November 23, 2016 at 17:46, volcano47 a dit :

 

Merci à vous deux pour votre précieuse aide, ça m'a bien aidé  ( je n'ai pas eu beaucoup de temps pour vous répondre, on est hyper blindé en ce moment )

Le Wednesday, November 23, 2016 at 22:28, Barbidoux a dit :