Periodicité d'une fonction.

[maelys-92]

Bonsoir,

J'aimerai savoir s'il y a une méthode précise et générale pour calculer la périodicité d'une fonction.

Parce que dans l'ensemble de mes recherches, ils disent on observe que la periode est 2pi donc on trouve la periode en deduisant. Mais moi je cherche le raisonnement mathématiques, la démonstration. Donc si on prend un exemple tout simple comme sin (4x)

On commence avec 

Sin (4x)= sin(4 (x+t)

Sin (4x) = sin (4x + 4t)

Et ensuite? 

[Barbidoux]

Lorsqu'une fonction f(x) est périodique, sa période fondamentale est plus petite valeur de T pour laquelle f(x+T)=f(x). Dans l'exemple que tu prends sin(4*x) il suffit d'écrire sin(4*x)=sin(4*(x+T))=sin(4*x+4*T). La fonction sinus  étant de période 2*π on en déduit que : sin(4*x+4*T)=sin(4*x+2*π) ce qui fait que la période T de la fonction sin(4*x) vaut π/2.

[CitronVert]

Pour trouver en pratique la période d'une fonction, dessine la courbe.

Je pense qu'il n'y a pas de formule pour trouver la période d'une fonction quelconque dans le cas général.

[maelys-92]

D'accord, merci du coup j'ai compris avec mon exemple.

Mais du coup si je prend

(sin(3x))^4

Ici dans ce cas ce n'est pas démontrable? 

 

[PAVE]

Bonjour,

Juste pour le plaisir de voir de jolies courbes  avec GEOGEBRA 

 

[CitronVert]

Il y a 16 heures, maelys-92 a dit :

D'accord, merci du coup j'ai compris avec mon exemple.

Mais du coup si je prend

(sin(3x))^4

Ici dans ce cas ce n'est pas démontrable? 

 

Bien sûr que si, le fait qu'il n'y ait pas de méthode générale ne veut pas dire que c'est indémontrable.

Pour commencer, tu dessines la courbe de la fonction et tu remarques que la période semble être de π/3. 

Il reste maintenant à montrer d'une part que π/3 est bien une période de la fonction, et d'autre part que c'est la plus petite. (plus exactement, que c'est la plus petite période > 0 )

On constate déjà que π/3 est bien une période : Soit x dans R. Alors sin(3(x+π/3))^4 = sin(3x+π)^4 = (-sin(3x))^4 = sin(3x)^4 .

Pour montrer que c'est LA période (la plus petite), tu peux dresser le tableau de variation de ta fonction.

f'(x) = 3cos(3x)*4sin(3x)^3

Tableau de signe de f' sur [0, π/3]

x                0                 π/6            π/3

cos(3x)               +          0        -

sin(3x)       0       +                    +     0

f'(x)            0       +          0        -      0

Donc f est strictement croissante sur ]0,π/6[ et strictement décroissante sur ]π/6,π/3[. Comme elle est continue, je peux fermer les intervalles : elle est strictement croissante sur  [0,π/6] et strictement décroissante sur [π/6,π/3].

J'ai f(0) = 0. Si je pose T la période, on doit donc avoir f(T) = 0.

Or f(0) = f(π/3) = 0 D'après mon tableau de variations, la fonction ne peut donc pas atteindre 0 ailleurs sur ]0,π/3[ . Donc T  π/3.

Comme T  π/3 et que π/3 est une période, on en déduit que T = π/3.

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir,

Il y a plus simple. Il me semble qu'elle est à bac +1 (a confirmer). Dans ce cas, elle peut linéariser le sin(3x)^4 et ça donne 3/8 + cos(12x)/8 - cos(6x)/2

Ainsi, le fondamental est donné par 6x car 12x est la première harmonique de 6x. Donc, Or la fonction cos est 2pi-périodique. Donc, 6T = 2pi <==> T = 2pi/6 = pi/3.

PS : je n'ai pas rédigé (comme je ne suis pas sûr que ça serve). Donc, en cas de souci, demandez.

[maelys-92]

Bonjour , 

Alors, je suis bien à bac +1 et je n ai d ailleurs plus le droit à la calculatrice. Donc pour tracer la courbe je pense que ce serait une méthode un peu longue. Mais merci j'ai bien compris votre démonstration.

 

Sinon par linearisation moi je trouve 

[(Cos(12x))/16 ] - 4 [ cos (6x)/4] +(3/8)

Ai-je faux du coup? 

Sinon je ne comprends pas ce que veut dire la premiere harmonique. 

Et je ne comprends pas également pourquoi vous posez 6T= 2pi

En effet la fonction cos est 2 pi periodique mais en quoi ca nous permet de mettre 6T= 2pi ? 

Merci de vos réponses. 

[maelys-92]

f (x) = cos (6 x)

f ( x+T) = cos ( 6x + 6T )

On pose X= 6x 

cos (X) = cos (X + 2pi)

Et du coup on a le droit de poser 6T = 2pi 

C est ca?

[Barbidoux]

Tout signal périodique est décomposable en série de Fourrier (somme de sinusoïdes et/ou cosinusoïdes). Le fondamental est le signal sinusoïdal /(cosinusoïdal) de plus grande période, c'est la valeur de T telle que f(t)=f(t+T).
Dans ton cas si tu linéarises tu obtiens :
[(Cos(12x))/16 ] - 4 [ cos (6x)/4] +(3/8)
ce qui fait que le fondamental est cos (6x) . Puisque cos(6*x+2*π)=cos(6*x) tu en déduis que la période de ton signal est 6*x=2*π ==> x=π/3
si tu ne linéairises pas :
sin(3*x)^4
la période de sin()^2 est égale à π. Donc puisque sin(3*x+π)^2=sin(3*x)^2  tu en déduis que la période de ton signal est 3*x=π==> x=π/3.

Le tracé du graphe de sin(3*x)^4 le confirme….

 

 

[maelys-92]

Pourquoi on prend pour periode celle de cos(6x) et non cos (12x) ? 

Parce que c'est la plus grande periode d'accord mais pourquoi on prend la plus grande periode? 

[maelys-92]

Sinon j'ai également un exemple: ou je ne comprend pas: 

On a la fonction: cos(4x) +sin (6x)

La periode de cos (4x) est pi/2

La periode de sin (6x) est pi/3 

La plus grande periode des deux est pi/2 cependant la fonction est pi périodique et non pi/2. Je ne comprends pas pcq du coup la démarche de Barbidoux ne marche plus... 

[Boltzmann_Solver]

Je voulais éviter d'en venir là car tu n'as pas du encore revoir mais tant pis.

Il suffit de chercher le PGCD des différentes pulsations et de l'égaliser à 2pi (période des fonctions circulaires)

Dans l'exemple précédent, tu as 6T et 12T, le PGCD(6T;12T) = 2pi <==> 6T = 2pi <==> T = pi/3

Et pour le dernier exemple, tu as 4T et 6T. PGCD(4T;6T) = 2pi <==> 2T = 2pi <==> T = pi

[maelys-92]

D'accord merci, j'ai compris! 

[Boltzmann_Solver]

il y a 30 minutes, maelys-92 a dit :

D'accord merci, j'ai compris! 

C'est le plus important^^.