Trigonométrie DM 1re S

[NeverKnows]

Exercice 1:

1. Simplifier l'expression sin(a+b)+sin(a-b)

On sait que sin(a+b)= sina cosb + sinb cosa

et que sin(a-b)= sina cosb - sinb cosa

donc sin(a+b)+sin(a-b) =  sina cosb + sinb cosa +  sina cosb - sinb cosa = 2 sina cosb

2. Montrer alors que 2sin(pi/7)(cos(pi/7)+cos(3pi/7)+cos(5pi/7))=sin(6pi/7)

  2sin(pi/7)cos(pi/7)+cos(3pi/7)+cos(5pi/7) = 2sin(pi/7) cos(pi/7) + 2sin(pi/7) cos(3pi/7) + 2sin(pi/7) cos(5pi/7)

= sin((2pi)/7)+sin0+sin((pi/7)+(3pi/7))+sin((pi/7)-(3pi/7)) ......

= sin(2pi/7) + sin0 + sin(4pi/7) - sin(2pi/7) + sin(6pi/7) - sin(4pi/7)

= sin(6pi/7)

3. Calculer alors cos(pi/7)+cos(3pi/7)+cos(5pi/7)

Comment dois-je faire pour cette question ?

Je remercie d'avance pour votre aide, je publierai l'exercice 2 si je bloque.

[Barbidoux]

2*sin(pi/7)(cos(pi/7)+cos(3pi/7)+cos(5pi/7))=sin(6pi/7)=sin(pi/7) ==> cos(pi/7)+cos(3pi/7)+cos(5pi/7)=1/2

[NeverKnows]

Comment arrivez vous à dire que :

il y a 43 minutes, Barbidoux a dit :

sin(6pi/7)=sin(pi/7)

?

[Barbidoux]

angles supplémentaires même sinus, cosinus opposés

[Boltzmann_Solver]

il y a 58 minutes, NeverKnows a dit :

Comment arrivez vous à dire que :

?

 

il y a 55 minutes, Barbidoux a dit :

angles supplémentaires même sinus, cosinus opposés

Tu as le même problème dans l'autre sujet. Tu as couple de solutions car sin(x) = sin(pi-x) pour tout x de R.

[NeverKnows]

Merci, c'est tout simple finalement.

J'ai écrit: on sait que sinx=sin(pi-x) donc sin(6pi/7)=sin(pi/7) donc cos(pi/7)+cos(3pi/7)+cos(5pi/7) = sin(pi/7)/2sin(pi/7) = 1/2.

Cette justification est elle correcte ?

Sinon merci pour votre aide ! Je me lance directement sur l'exercice 2 !

[NeverKnows]

Bon, je bloque sur l'exercice 2:

Les nombres x et y sont deux éléments de l'intervalle [0;pi/2] tels que cosx=1/3 et siny=3/5.

Calculer cos(2x-y) et sin(2x-y).

Je voudrais que l'on m'explique comment on peut trouver cosx=1/3 ? Une fois que je saurai comment calculer cosx=1/3  je pense pouvoir réussir siny=3/5 seule.

[pzorba75]

Il n'y a rien à expliquer cos(x)=1/3 est une équation, pareil pour sin(y)=3/5.

On ne te demande ni x, ni y,

seulement d'appliquer les formules d'addition cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b) et cos(2a) et sin(2a) avec cos(a), cos(b), sin(a) et sin(b).

par exemple cos(x+y)=cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y), je te laisse faire les substitutions toute seule pour vérifier que tu as bien compris.

Au travail.

[NeverKnows]

J'ai avancé un petit peu. Voici ce que j'ai fait:

cos(x+y)=cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y), donc

cos(2x-y)=cos(2x)*cos(y)-sin(2x)*sin(y)

Soit égal à (2cos²(x)-1)*sin(pi/2-y)-(2cosx*sinx)*3/5

Cosx=1/3 donc 2cos(x)=1/3*1/2=1/6

2cos²(x)=1/√6 donc 2cos²(x)-1=(1+√6)+1=(1+√6)/√6

On peut donc remplacer (2cos²(x)-1) par (1+√6)/√6

Suis je sur la bonne voie ?

[pzorba75]

Tu n'as pas relu ce que tu as écrit avant de poster.

Cosx=1/3 donc 2cos(x)=1/3*1/2=1/6  je ne vois d'où tu sors ces calculs.

[NeverKnows]

Je me corrige:

Cosx=1/3 donc 2cos(x)=1/3*2=2/3 (et pas 1/2 que j'ai sorti je ne sais où)

2cos²(x)=√(2/3) donc 2cos²(x)-1=√(2/3)+1=√(5/3)

On peut donc remplacer (2cos²(x)-1) par √(5/3)

Est-ce correct cette fois-ci ?

[pzorba75]

Relis ce que tu postes, c'est une suite d'erreurs.

2*cos^2(x)=2*(1/3)^2=2/9

2*cos^2(x)-1=2/9-1=-7/9

[NeverKnows]

D'accord,

je comprend mais par la suite comment je fais pour calculer cosy=sin(pi/2-y) ?

Je ne pense pas que ça soit sin(pi/2-3/5) non ? Et comment faire pour que sinx=(2cosx*sinx)  n'est plus de sinx ?

[pzorba75]

d'après ton cours, sin(pi/2-y)=cos(y), où est le problème?

[NeverKnows]

Je ne connais ni y et ni cos(y)

[NeverKnows]

il y a 11 minutes, NeverKnows a dit :

Je ne connais ni y et ni cos(y)

Je pense avoir trouvé:

si sin(y)=3/5 alors sin(pi/2-y)=1-3/5=2/5

Est-ce bon ?

[NeverKnows]

Et je pour trouver sin(2x) je fais: sinx=cos(pi/2-2x) donc ça donne

cos(pi/2-2x)=0-2*1/3=2/3 donc cos(2x+y)= -7/9 * 2/5 - 2/3 * 3/5 = -14/45 - 2/5 = -32/45 ?

[pzorba75]

Essaie la vérification avec ta calculatrice ou celle de ton ordinateur qui doit bien avoir les fonctions trigonométriques, sinon installe speedcrunch, logiciel gratuit et largement suffisant pour des petits calculs.

[Boltzmann_Solver]

il y a une heure, NeverKnows a dit :

Je ne connais ni y et ni cos(y)

Mais tu connais sin(y) et tu sais que y app à [0,pi/2].

Comme cos^2(y) + sin^2(y) = 1 ===> cos^2(y) = 1 - sin^2(y) ==> cos(y) = sqrt(1-cos^2(y)) car le sinus est positif sur [0;pi/2].