Exercices suites numériques.

[LéaC]

Bonjour,

J'ai quelques exercices qui me posent des difficulté, je ne comprends pas vraiment.

Exercice n°1:

PARTIE B:

Soit (Un) la suite définie par son premier terme U0  et par la relation de récurrence: Un+1=f(Un) où f est définie sur R par: f(x)=x-x²    

1) Dresser le tableau de variations de f sur R.

2) Déterminer le sens de variation de la suite (Un).

3) Cas U0=-2

a) Montrer par récurrence que pour tout n de N, Un -2^{(2 à la puissance n)}.

b) En déduire lim Un. n---> + infini

c) A l'aide de l'inégalité, trouver un rang n1 tel que pour tout n n1, Un   -10¹⁰.

d) A l'aide d'un algorithme que l'on détaillera et qu'on implémentera sur la calculatrice, déterminer le plus entier n2 tel que pour tout n  n2, Un -10¹⁰.

4) Cas U0=0,5

a) Montrer que pour tout n de N, 0 Un 0,5.

b) En déduire que (Un) converge.

c) Montrer que pour tout n de N, Un 1/n. En déduire lim Un---> + infini.

J'ai réussi les questions 1) 2) et le début de la 3)a).

Exercice 3:

Soit (Un ) la suite définie par U0 = 3 et un+1 = (5un+1)/(un +5) pour n ≥ 0.

1) Étudier les variations de la fonction f définie sur [0 ; + ∞ [ par f (x ) = (5x + 1)/ (x +5)

2)a) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on dispose ci-après de la représentation graphique de la fonction f. En laissant apparent les traits de construction, construire en abscisse les quatre premiers termes de la suite (Un).

b) Que peut-on conjecturer quant au sens de variations et à l'éventuelle convergence de la suite (un)?

3)a) Démontrer, par récurrence, que pour tout n de N, 0 ≤ un+1 ≤ un ≤ 3.

b) Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (un) ?

4) Soit (Vn ) la suite définie par Vn = (un −1) / (un+1) pour n ≥ 0. un +1

a) Montrer que (Vn ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b) Pour tout n ≥ 0, exprimer un en fonction de Vn .

c) Déterminer la limite de la suite (Vn ) puis conclure quant à la limite de (Un).

J'ai réussi la question 1).

Merci à ceux qui pourront m'éclairer, bonne journée!

[pzorba75]

Cet exercice est proposé en classe de première?

[LéaC]

Non je suis en terminale.

[pzorba75]

Alors mets ton profil à jour, tu seras aidée en rapport à ton programme.

 

Exo 3 

1

a) f est croissant de 1/5 à 5.

b) Conjecture avec Excel ou Libre Office : (u_n) décroissante minorée par 1.

 

3 a) par récurrence, 3 étapes pour conclure.

b) (u_n) minorée et décroissante, donc converge vers une limite.

 

4

a) v_n+1/v_n=2/3 

v₀=1/2 => v_n=1/2*(2/3)_n.

La suite n'est que du calcul sans réelle difficulté.

Au travail.

[LéaC]

J'ai mis mon profil à jour, merci de votre aide.

[Barbidoux]

B3------------

u₀=-2 ≤-2^(2^0)=2

u₁=-2-(-2)^2=-6 ≤-2^(2^1)=-4

u₂=-6-(-6)^2=-42 ≤-2^(2^2)=-16

on suppose

u_n=u_n-1-(u_n-1)^2≤ -2^(2^n)

----------

Par définition

u_n+1=u_n-(u_n)^2 

or

u_n≤-2^(2^n)

(u_n)^2≥ (2^(2^n))^2=2^(2^(n+1))

--------

u_n≤-2^(2^n)

2^(2^(n+1))≤(u_n)^2

---------

u_n+2^(2^(n+1)) ≤(u_n)^2-2^(2^n)

u_n+1=u_n-(u_n)^2 ≤-2^(2^n)-2^(2^(n+1)) ≤ -2^(2^(n+1))

la relation étant héréditaire est vérifiée pour  toute valeur de n et 

u_n≤ -2^(2^n)

 

B4----------------

u0=1/2

u1=u0-u0^0 =u0*(1-u0)<u0=1/2

on suppose un<1/2

u_n+1=un*(1-un) <un<1/2

la relation étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n 

-----------

u0=1/2

u1=u0-u0^0 =u0*(1-u0)>0

on suppose un>0

u_n+1=un*(1-un) 

comme un<1/2 et >0 ==> un+1>0

la relation étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n

Conclusion 0<un<1/2

B4b-------------

suite bornée donc convergente

un+1=un-un^2 ==> un+1-un=-un^2 <0 donc suite décroissante et la suite converge vers 0 sa borne inférieure

B4c-------------

????? Je ne vois pas comment démonter rigoureusement que un<1/n

-----------------------------------------

31-------------

f(x)=(5*x+1)/(x+5)

définie sur [0 ∞[

f'(x)=5/(x+5)-(6*x+1)/(x+5)^5=24/(x+5)^2 >0 ==> f(x) est croissante sur son intervalle de définition

32-------------

u0=3

u1=2

u2=11/7

u3=31/23

u4=89/73

un est décroissante et converge vers 1

33-------------

Remarque : énoncé incorrect car on ne peut pas démonter par récurrence que 0≤ un+1≤un≤3. On peut par contre démontrer par récurrence que 0≤un≤3 puis que la suite est décroissante et que donc finalement 0≤un+1<un≤3

La suite un est croissante lorsque u0 appartient à [0,1[ et décroissante lorsque u0 appartient à ]1 ∞[

u0=3≥0

u1=2≥0

u2=11/7≥1

u3=31/23≥1

on suppose un≥0

u_n+1=(5*un+1)/(un+5)=(5*un+25-24)/(un+5) =5-24/(un+5) 

comme un≥0 ==> un+1≥0

la relation étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n et un≥1

-----------

u1=2≤3

u2=11/7≤3

u3=31/23≤3

on suppose un≤3

u_n+1=(5*un+1)/(un+5) =(5*un+25-24)/(un+5) =5-24/(un+5) 

un≤3 ==> 24/(un+5) >4 et un+1 ≤3

la relation étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n et un≤3

------------

un+1-un= (5*un+1)/(un+5)-un=(1-un^2)/(un+5)

comme un≥1 alors un+1-un<0 et la suite un est décroissante

un est une suite bornée décroissante elle est donc convergente

34-------------

vn=(un-1)/(un+1)

v_n+1=(u_n+1-1)/(un+1+1)=((5*un+1)/(un+5)-1)/((5*un+1)/(un+5)+1)=(4un-4)/(6*un+6)=(2/3)*(un-1)/(un+1)=(2/3)*vn

La suite vn est une suite géométrique de raison 2/3 et de premier terme v0=2 ==> vn=2*(2/3)^n=(un-1)/(un+1) ==> un=((2/3)^n+1)/(1-(2/3)^n)

Lorsque n->∞ alors (2/3)^n ->0 et lim un=1/1=1

[stouvalie]

Bonjour,

Je déterre ce vieil exercice car il se trouve que j'ai exactement le même, mais  je bloque sur la question 3)a de l'exercice 3.
Je ne comprends juste pas comment on obtient cette ligne : 

u_n+1=(5*un+1)/(un+5)=(5*un+25-24)/(un+5) =5-24/(un+5) ?

est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer svp? 
Merci 

 

 

[Barbidoux]

1=25-24 <==> (5*un+1) = (5*un+25-24)