Exercice De Mathématique

[Missvictoria]

Bonjour, j'a un exercice de mathématique que je n'arrive pas à faire. Pourrait-on m'aider s'il vous plait. Merci

Exercice 5 (4 points)

Arthur et Blandine travaillent dans la même entreprise. Arthur rejoint la machine à café entre 9 h 30 min et 10 h 40 min et y reste 10 min, Blandine, elle, vient y prendre une boisson entre 10 h et 11 h et reste dans le salon de repos de l’entreprise 7 min.

Arthur arrive à une heure choisie au hasard entre 9 h 30 min et 10 h 40 min, Blandine y va à une heure prise au hasard entre 10 h et 11 h.

On s’intéresse au problème suivant. Quelle est la probabilité qu’Arthur et Blandine se retrouvent dans le salon ?

Simulation

1) Montrer qu’on peut modéliser l’heure d’arrivée a (resp. b) d’Arthur (resp. de Blandine) par 9,5 + k/60 (resp. 10 + 1/60 ) où k (resp. l) est un nombre entier choisi au hasard entre 0 et 70 (resp. 0 et 60).

2) Comment obtenir à l’aide de votre calculatrice un nombre entier au hasard entre 0 et 60 ?

3) Montrer qu’Arthur et Blandine se rencontrent si et seulement si 20 (inférieur ou égal à) k - l (inférieur ou égal à) 37.

4) Ecrire un algorithme simulant une journée de travail et donnant S = 0 si Arthur et Blandine ne se rencontrent pas et S = 1 s’ils se rencontrent.

5) Ecrire et implémenter sur votre calculatrice un programme simulant 100 journées de travail et donnant la fréquence des jours où Arthur et Blandine se sont rencontrés. Qu’obtenez-vous ?

Modélisation

On note x le nombre de minutes qui séparent 9 h 30 min de l’arrivée d’Arthur et y le nombre de minutes qui séparent 10 h de l’arrivée de Blandine. On a donc : x appartient (0 ; 70) et y appartient (0 ; 60) .

On se place dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ; i ; j) et on note M le point de coordonnées (x ; y).

Ainsi, par exemple, le point M ci-dessous représente la situation où Antoine est arrivé à 10 h 16 et Bernadette à 10 h 45.

On note A (70 ; 0), B (70 ; 60) et C (0 ; 60) de sorte que l’ensemble des situations possibles est représenté par le carré ABCD.

1) Montrer que Arthur et Blandine se rencontrent si et seulement si M est à l’intérieur du rectangle et est compris entre les droites d’équations y = x – 37 et y = x – 20.

On note EFGH le trapèze représentent les points à l’intérieur du carré qui sont entre les droites d’équations y = x – 37 et y = x – 20. On admet alors que la probabilité qu’Arthur et Blandine se rencontrent est égale à la probabilité qu’un point choisi au hasard dans le carré ABCD soit à l’intérieur du trapèze EFGH et que cette probabilité vaut :

p = aire de EFGH / aire de ABCD

2) Déterminer les coordonnées des points E, F, G et H.

3) En déduire l’aire du trapèze EFGH.

4) Déterminer p et comparer avec les résultats de la 1ère partie.

[pzorba75]

Cet exercice est posé en classe de première? Surprenant.

[Missvictoria]

Bonjour, oui cette exercie est posé en première

[Missvictoria]

Quelqu'un pourrait-il m'aider s'il vous plait

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

Si ça peut attendre ce week-end, je t'aiderai. Il est cool cet exo. Sinon, je laisse la main.

PS : A part la 3) de simulation, il est niveau première.

[Barbidoux]

Un peu d'aide en attendant le wek-end ….

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Simulation

1) Montrer qu’on peut modéliser l’heure d’arrivée a (resp. b) d’Arthur (resp. de Blandine) par 9,5 + k/60 (resp. 10 + 1/60 ) où k (resp. l) est un nombre entier choisi au hasard entre 0 et 70 (resp. 0 et 60).

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Arthur arrive entre 9 h 30 et 10 h 40. Son heure aléatoire d'arrivée a pour expression t(k)=9,5 +k/60 où k est un entier aléatoire appartenant à [0,70] (fourchette de 70 minutes entre les heures possibles d'arrivée)

Blandine arrive entre 10 h et 11 h. Son heure aléatoire d'arrivée a pour expression t(L)=9,5 +L/60 où L est un entier aléatoire appartenant à [0,60] (fourchette de 60 minutes entre les heures possibles d'arrivée)

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2) Comment obtenir à l’aide de votre calculatrice un nombre entier au hasard entre 0 et 60 ?

3) Montrer qu’Arthur et Blandine se rencontrent si et seulement si 20 (inférieur ou égal à) k - l (inférieur ou égal à) 37.

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Arthur et Blandine se rencontrent si leurs heures d'arrivée diffère de moins de 7 minutes condition qui s'écrit |t(k)-t(L)|≤ 7 ce qui conduit à 23 ≤ K-L ≤ 37

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4) Ecrire un algorithme simulant une journée de travail et donnant S = 0 si Arthur et Blandine ne se rencontrent pas et S = 1 s’ils se rencontrent.

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Algorithme de simulation des rencontres sur n jours :

Pour i allant de 1 à n

k est un nombre aléatoire appartenant à [0 ,70]

L est un nombre aléatoire appartenant à [0 ,60]

si (K-L)≤ 37 and (K-L)≥23 alors

s prend pour valeur s+1

Fin de si

Fin de pour

f prend pour valeur s/n

Afficher "Fréquence"

Afficher f

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[Missvictoria]

Merci Barbidoux

[Boltzmann_Solver]

Bonjour Barbidoux,

Je ne suis pas d'accord avec ton argument de la 3).

Contre-exemple :

A arrive en premier. Sa pause dure 10 min. Si B arrive à la 9ième minute, il se rencontre mais |k-l| = 9. En fait, il faut raisonner en terme d'intervalle mais c'est un peu dur pour un première, je trouve.

Je te monterai ça ce soir si tu ne vois pas.

Tiens moi au courant.

BS.

[Barbidoux]

Oui je suis allé un peu vite et je n'ai pas discerné les deux cas, arrivée d'Arthur en premier ou l'inverse (le temps de présence à la machine à café n'est pas le même) ce qui donne deux conditions non symétrique, il y avait aussi une faute de frappe dans la deuxième expression. Je rectifie

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1) Montrer qu’on peut modéliser l’heure d’arrivée a (resp. b) d’Arthur (resp. de Blandine) par 9,5 + k/60 (resp. 10 + 1/60 ) où k (resp. l) est un nombre entier choisi au hasard entre 0 et 70 (resp. 0 et 60).

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Arthur arrive entre 9 h 30 et 10 h 40. Son heure aléatoire d'arrivée a pour expression t(k)=9,5 +k/60 où k est un entier aléatoire appartenant à [0,70] (fourchette de 70 minutes entre les heures possibles d'arrivée)

Blandine arrive entre 10 h et 11 h. Son heure aléatoire d'arrivée a pour expression t(L)=10+L/60 où L est un entier aléatoire appartenant à [0,60] (fourchette de 60 minutes entre les heures possibles d'arrivée)

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2) Comment obtenir à l’aide de votre calculatrice un nombre entier au hasard entre 0 et 60 ?

3) Montrer qu’Arthur et Blandine se rencontrent si et seulement si 20 (inférieur ou égal à) k - l (inférieur ou égal à) 37.3) Montrer qu’Arthur et Blandine se rencontrent si et seulement si 20 (inférieur ou égal à) k - l (inférieur ou égal à) 37.

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Si arthur arrive en premier alors Arthur et Blandine se rencontrent si Blandine arrive dans les dix minutes qui suivent. Condition qui s'écrit t(k)-t(L)≤ 10 ce qui conduit à 20 ≤ K-L

Si Blandine arrive en premier alors Arthur et Blandine se rencontrent si Arthur arrive dans les sept minutes qui suivent. Condition qui s'écrit t(L)-t(k)≤ 7 ce qui conduit à K-L≤ 37

Finalement la double condition pour qu'Arthur et blandine se rencontre est 20 ≤ K-L ≤ 37

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4) Ecrire un algorithme simulant une journée de travail et donnant S = 0 si Arthur et Blandine ne se rencontrent pas et S = 1 s’ils se rencontrent.

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Algorithme de simulation des rencontres sur n jours :

Pour i allant de 1 à n

k est un nombre aléatoire appartenant à [0 ,70]

L est un nombre aléatoire appartenant à [0 ,60]

si (K-L)≤ 37 and (K-L)≥20 alors

s prend pour valeur s+1

Fin de si

Fin de pour

f prend pour valeur s/n

Afficher "Fréquence"

Afficher f

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[Boltzmann_Solver]

Oui, c'est presque ça. Il faut établir des encadrements des deux événements puis en faire l'union. Sinon, on commet deux erreurs :

- la première est logique. Tu as dis que si A arrivent avant B, alors 20 k-l. Or, si k-l > 30, ce n'est plus le cas.

- la seconde est sur le modèle. Tu aurais pu avoir un intervalle dans [20;37] qui n'aurait pas été solution. Dans ce cas, il aurait fallu éliminer ces solutions du tirage.

Éléments de réponse.

Donc,

A et B se rencontrent => 0 t(k)-t(l) 10 ou 0 t(l)-t(k) 7 => 20 k-l 30 ou 30 k-l 37 => 20 k-l 37.

Je partage l'avis de Zorba, peu d'élèves peuvent réussir cette question sans aide extérieure, je crois (enfin, la tête de classe y arrivera si elle est motivée).

[casisimed]

Bonjour,

Quelqu'un peut-il m'aider pour la fin du devoir : calculer l'aire du trapèze EFGH ?

Merci.

Casisimed

[Barbidoux]

E{20,0} F{37,0}, G{70,33}, H{70,50}

Aire de EFGH= (|EH|+|FG|)*d/2 où d est la distance entre les deux droites (distance de F à y=20-x par exemple.

Si le plan est muni d'un repère orthonormal, si la droite (d) a pour équation ax + by + c = 0 et si le point F a pour coordonnées (xF ; yF), alors la distance entre A et (d ) est donnée par l'expression

d(F,D)=d=|a*xA+b*yA+c|/√(a^2+b^2)=|-37+0+20|/√2=17/√2

EH{50,50} ==> |EH|=50*√2

FG{33,33} ==> |FG|=33*√2

Aire de EFGH= (|EH|+|FG|)*d/2=(50*√2+33*√2)*17/(2*√2)=705.5

P=Aire de EFGH/Aire ABCD=3300*√2/(17*70*60)=0.168=16.8%