Limites Fonctions Exponentielles

[Naya Ternura]

Bonsoir quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait?

On suppose qu'il existe une fonction f définie et dérivable sur R telle que, pour tout réel x, f'(x) = 2f(x) et

f(0) = 1/e²

En suivant une démarche analogue à celle du cours montrer que f ne peut s'annuler.

[Barbidoux]

f'x)=dy/dx

dy/y=2*dx ==> y(x)=k*exp(2*x) est la solution générale de cette équation différentielle puisque y'(x)=k*exp(2*x) ==> y'(x)/y(x)=2

La valeur de k est déterminé en utilisant la valeur particulière y(0)=1/exp(1)^2 ==> y(x)=exp(2*x)/exp(1)^2. Cette fonction étant >0 pour toute valeur de x appartenant à R on en déduit que y(x) ne peut s'annuler sur R

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir Barbidoux,

Je ne pense pas que Naya ait encore vu les équations différentielles. Elle doit en être qu'à l'introduction de la fonction exponentielle.

L'idée ici est d'introduire la fonction théta(x) = f(x)*f(-x). theta est définie, et dérivable sur R comme produit de fonction de même acabit.

théta'(x) = f'(x)*f(-x) -f'(-x)*f(x)

= 2*f(x)*f(-x) - 2*f(-x)*f(x) = 0.

Donc, la fonction théta est égal à une constante car seule la dérivée d'une constante donne zéro (je doute qu'elle ait vu l'intégration également).

theta(0) = cste

=> f²(0) = cste

=> cste = 1/e⁴

En conclusion, pour tout x de R, f(x)*f(-x) = 1/e⁴.

Or, dans un produit, si l'un des termes est nul, alors le produit sera nul. Donc, f ne peut pas s'annuler car il a pour produit un terme non nul.

[Barbidoux]

Salut BS, et merci de ton intervention. Difficile parfois de savoir ce qui attendu, ce qui est supposé être connu ou d'imaginer le contexte dans lequel l'exo est posé.

[Boltzmann_Solver]

Bonjour Barbidoux,

Pas de souci. Cette méthode n'est pas parfaite à cause de la pseudo-intégration de 0 mais je ne vois pas mieux.

[Naya Ternura]

bonjour , merci pour votre aide effectivement je ne suis qu'a l'introduction de la fonction exponentielle. je pense que pour toute question du meme type je pourrai y repondre tres facilement.

Merciiii

[Boltzmann_Solver]

bonjour , merci pour votre aide effectivement je ne suis qu'a l'introduction de la fonction exponentielle. je pense que pour toute question du meme type je pourrai y repondre tres facilement.

Merciiii

[Naya Ternura]

Désolée d'abuser mais j'ai un exercice de proba

Dans une population, un habitant sur dix est atteint d’une maladie contre laquelle la moitié des habitants sont vaccinés. Un vaccin n’étant pas totalement efficace, on observe qu’un malade sur 20 a été vacciné. Quelle est la probabilité d’être malade pour une personne qui a été vacciné ?

ce que j'ai fait:

de mon arbre de probabilité j'ai en déduit Pv(M)=1/2 x1/20=1/40

il me semble que ma reponse est fausse ( je pense pas qu'il nous auraient donné une question a réponse aussi évidente)

Pouvez vous me corriger SVP?

[Boltzmann_Solver]

Bonjour Naya,

Tu dois améliorer ta rédaction en précisant les événements et les relations !

Soit :

- M : un habitant est malade.

- V : un habitant est vacciné.

- P_A(B), la probabilité de B sachant A (cette notation n'est pas universelle. A titre personnel, j'utilise la notation P(B|A).

On sait que :

- P(M) = 1/10

- P(V) = 1/2

- P(MnV) = 1/20

On cherche P_V(M) = P(MnV)/P(V) = 1/20*(2/1) = 1/10.

D'ailleurs, tu peux conclure que le vaccin est inefficace car P(M) = P_V(M) = 1/10. Pour qu'il soit efficace, il aurait fallu que :

- P(VnM) < 1/20.

- P(V) < 1/2.

[pzorba75]

Je résoudrai de cette façon :

1 habitant sur 10 est malade :1/2*p_V(M)+1/2*p_Vbarre(M)=1/10 (1/2 une personne sur 2 vaccinée ou non vaccinée)

1 malade sur 20 est vacciné p_V(M)/(P_V(M)+p_Vbarre(M)=1/20

ce qui donne p_V(M)=1/100

Sauf erreur.

[Boltzmann_Solver]

Je résoudrai de cette façon :

1 habitant sur 10 est malade :1/2*p_V(M)+1/2*p_Vbarre(M)=1/10 (1/2 une personne sur 2 vaccinée ou non vaccinée)

1 malade sur 20 est vacciné p_V(M)/(P_V(M)+p_Vbarre(M)=1/20

ce qui donne p_V(M)=1/100

Sauf erreur.

[Barbidoux]

Salut BS et Zorba,

étant arrivé aux mêmes conclusions que Zorba par un raisonnement différent du sien,

un habitant sur dix est atteint d’une maladie et l'on observe qu’un malade sur 20 a été vacciné. J'ai déduit de cette observation que la proportion de malades vaccinés était de (1/10)*(1/20)=1/200 celle de malades non vacciné était de (1/10)*'19/20)=19/200.

La moitié des habitants étant vaccinés, j'en ai déduit la probabilité d’être malade pour une personne vaccinée était de (1/200)/(1/2)=1/100 et de 19/100 pour une personne non vaccinée.

j'aimerais savoir où se trouve la faute dans mon raisonnement ...

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir Barbidoux,

Le souci est surtout lié aux notations et aux interprétations du sujet.

Cette phrase n'est pas interprété de la même façon : Un vaccin n’étant pas totalement efficace, on observe qu’un malade sur 20 a été vacciné.

J'y lis que P(VnM) = 1/20.

Barbidoux y lit que P_M(V) = 1/20.

Si on reprend suivant la lecture de Barbidoux, on arrive à : P(MnV) = P_M(V)*P(M) = 1/20*1/10 = 1/200. Et d'après le Th. de Bayes,

- P_V(M) = P_M(V)*P(V)/P(M) = 1/20*1/2/(1/10) = 1/100 (Comme tu as trouvé).

Je pense après relecture du sujet que ton interprétation est correcte.