Spécialité Mathématiques Congruences Et Équations

[Étienne9]

Bonjour à vous,

Je suis bloqué dans un exercice de spécialité :

http://img411.imageshack.us/i/19557362.jpg/

Merci beaucoup !

[Barbidoux]

Salut Zorba.... j'avais pas vu que tu étais sur ce sujet désolé...

[pzorba75]

Bonjour à vous,

Je suis bloqué dans un exercice de spécialité :

Tu commences en écrivant :

8x==7[5]

8x=5y+7 division euclidienne

8x-5y=7

Tu cherches une solution particulière, en remontant la division euclidienne à l'envers

8*2-5*3=1

ou

8*14-5*21=7

combiné avec

8x-5y=7

tu arrives à

8(x-14)-5(y+21)=0

8(x-14)=5(y-21)

tu peux alors conclure en notant que 8 et 5 sont premiers entre eux.

A vérifier bien entendu!

Merci beaucoup !

[Étienne9]

Justement, j'ai fait comme ça et j'arrive à x = 5k+14 et y = 8k+21 c'est bon ou pas ?

Mais le problème est que en prenant 1 par exemple ça fait x = 19 et 19 en le divisant par 5 ça fait un reste de 4 or ça devrait être 7...

PS : Bah non, c'est bon ce que j'ai mis en fait je crois bien car 7 fallait que je le mette dans le module de 5 ce qui fait qu'il reste 2 non ?

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir à vous tous,

Je vais surement faire mon "chieur", mais ça n'est absolument pas rigoureux et on s'attend en spé à une certaine rigueur dans les écritures. Mais, l'idée est là !

Je vous montre.

1)

On a x dans Z,

On sait que 8x congrue 7 mod 5 => 8x congrue 2 mod 5.

=> 3x + 5x congrue 2 mod 5

=> 3x congrue 2 mod 5

Or, 2 congrue à -3 mod 5. Donc, par transitivité dans la congruence,

=> 3x congrue -3 mod 5

=> 3(x+1) congrue 0 mod 5

Donc, il existe k dans Z tel que 3(x+1) = 5*(3k).

x+1 = 5k => x = 5k-1.

Mais ça ne veut pas dire que tous les k de Z soit solution !!!! On a juste montré que la forme des solutions sera : x = 5k-1. Pour trouver les k solutions, on revient à la définition.

8x congrue 7 mod 5

8(5k-1) congrue 7 mod 5

40k congrue 15 mod 5

40k congrue 0 mod 5

Et là, on voit bien que tous les k de Z sont solutions. Donc, pour tout z de Z, x = 5k-1

2)

336x + 210y = 294

Cette équation est équivalente à 8x + 5y = 7 en divisant par 42.

=> 8x congrue 7 mod 5.

On a montré que cette équation avait pour solution, pour tout k de Z, x = 5k-1. Il nous reste à déterminer y.

8(5k-1) + 5y = 7

40k + 5y = 15

y = 3-8k

Donc, les couples solutions sont : pour tout k de Z, (5k-1,3-8k). Vérification : 8(5k-1) + 5(3-8k) = 15-8=7. Ca marche.

Voilou.

[Étienne9]

Merci beaucoup Boltzmann_Solver

Vous êtes un as !

[Boltzmann_Solver]

Merci beaucoup Boltzmann_Solver

Vous êtes un as !

[Invité shaila]

je suis entièrement d'accord :p

[Étienne9]

Avoir c'est bien mais comprendre c'est mieux, c'est pour ça que j'ai une question à vous poser.

Je n'ai pas compris cela :

Or, 2 congrue à -3 mod 5. Donc, par transitivité dans la congruence,

< = > 3x congrue -3 mod 5

< = > 3(x+1) congrue 0 mod 5

Pourquoi -3 ? Pourquoi 2 congrue ?

À la rigueur si de 3x congrue 2 mod 5 vous serez passé à 2 congrue 3x mod 5 j'aurai compris...

Serait-ce ça justement ? (sauf que j'aurai oublié quelques détails)

Le soucis est qu'à la base je pense que je suis censé utilisé le Théorème de Gauss et l'Algorithme d'Euclide...

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

2 congrue -3 mod 5 car 2 = -3 + 5*1. C'est aussi simple que ça .

Sais tu ce que c'est la transitivité ?

[Étienne9]

Non, je voudrai bien savoir !

[Boltzmann_Solver]

Non, je voudrai bien savoir !