Problème Valeurs Absolues

[JulesTSD]

Bonjour je suis en terminale S et jai un devoir à rendre mais j'ai quelque soucis je vous explique :

f est la fonction définie sur Df= R- { -1;1 } par f(x) = valeur absolue de ( x+1 ) + x/ x²-1 (x/(x²-1)) n'est pas compris dans la valeur absolue.

il fallait donc écrire f(x) sans valeur absolue, j'ai donc distingué deux cas

1) f(x) = x+1 + x/(x²-1) où x>1

2) f(x) = -x-1 + x/(x²-1) où x<-1

il faut ensuite exprimer f '(x) donc j'ai mis sur le méme dénominateur par exemple pour le 1) ce qui me donne x(x+1) (x²-1) / (x²-1) puis j'ai utilisé la formule uxv = u'(x) x v(x) - u(x) x v'(x)

et j'ai trouvé 2x^5 - 8x^3 + 5x^4 - 4x² +1 / (x²-1)², maintenant comment savoir le signe de f '(x) et est ce que ma dérivée est bonne ?

Merci

[Boltzmann_Solver]

Bonjour je suis en terminale S et jai un devoir à rendre mais j'ai quelque soucis je vous explique :

f est la fonction définie sur Df= R- { -1;1 } par f(x) = valeur absolue de ( x+1 ) + x/ x²-1 (x/(x²-1)) n'est pas compris dans la valeur absolue.

il fallait donc écrire f(x) sans valeur absolue, j'ai donc distingué deux cas

1) f(x) = x+1 + x/(x²-1) où x>1

2) f(x) = -x-1 + x/(x²-1) où x<-1

il faut ensuite exprimer f '(x) donc j'ai mis sur le méme dénominateur par exemple pour le 1) ce qui me donne x(x+1) (x²-1) / (x²-1) puis j'ai utilisé la formule uxv = u'(x) x v(x) - u(x) x v'(x)

et j'ai trouvé 2x^5 - 8x^3 + 5x^4 - 4x² +1 / (x²-1)², maintenant comment savoir le signe de f '(x) et est ce que ma dérivée est bonne ?

Merci

[pzorba75]

x>-1 f(x)=x=1+x/(x2-1) f'(x)=1-(x²+1)/(x²-1)=x²*(x²-3)/(x²-1)²

f'(x)<0 de -1 à 1 et 1 à sqrt(3) f(x) décroissante

f'(x)>0 de sqrt(3) à +infini f(x) croissante

x<-1 f(x)=-x-1+x/(x²-1) f'x=-1+x/(x²-1)=x²*(x²-5)/(x²-1)

f'(x)>0 de -infini à -sqrt(5) f(x)croissante

f'(x)<0 de -sqrt(5) à -1 f(x) décroissante

A charge de vérifier en rédigeant.

A+

[Barbidoux]

f(x)=|x+1|+x/(x^2-1) Domaine de definition R-{-1,1}

Deux cas sont à considérer

x <-1 ==> f(x)=-x+1+x/(x^2-1) et f'1(x)=-(2 x^2)/(x^2-1)^2+1/(x^2-1)-1=(-x^4+x^2-2)/(x^2-1)^2 <0

x >-1 ==> f(x)=-x+1+x/(x^2-1) et f'2(x)=-(2 x^2)/(x^2-1)^2+1/(x^2-1)+1=x^2*(x^2-3))/(-1 + x^2)^2 >0 pour x= 3

x..........................(-1)....................(1)..................(3)....................

f'1(x).....(-).............||

f'2(x).....................||...........(-)..........||.........(-).......(0).........(+)......

f(x)......décrois.......||......decrois.......||......décrois...Min.....crois.......

Ce que confirme le tracé du graphe de f(x)

[Boltzmann_Solver]

J'avais pas fait le second cas, pour qu'il s'essaye (vu que c'est le même principe).

[Barbidoux]

petit erreur de frappe il faut lire 3 dans le tableau

x..........................(-1)....................(1)..................( 3)....................

f'1(x).....(-).............||

f'2(x).....................||...........(-)..........||.........(-).......(0).........(+)......

f(x)......décrois.......||......decrois.......||......décrois...Min.....crois.......

[JulesTSD]

quand vous dites :

Pour x>-1, f'(x) = 1 + (1*(x^2-1)-x*2x)/(x^2-1)^2 = 1 + (x^2 - 1 -2*x^2)/(x^2-1)^2 = 1 - (X^2+1)/(x^2-1)^2

mais alors je comprend pas comment vous avez fait votre dérivé

[Barbidoux]

quand vous dites :

Pour x>-1, f'(x) = 1 + (1*(x^2-1)-x*2x)/(x^2-1)^2 = 1 + (x^2 - 1 -2*x^2)/(x^2-1)^2 = 1 - (X^2+1)/(x^2-1)^2

mais alors je comprend pas comment vous avez fait votre dérivé

[JulesTSD]

donc pour x<-1 on a f '(x)= -1-(x²+1) / (x²-1)²

car

dérivée de -x-1 = -1

dérivée de x/(x²-1) =1/(x²-1)-x*(2*x)/(x²-1)² =(1*(x²-1)-x*2x)/(x²-1)² =-(x²+1)/(x²-1)²

dérivée de f(x)= -1 -(x²+1)/(x²-1)²

[JulesTSD]

et pour :

x <-1 ==> f(x)=-x+1+x/(x^2-1) et f'1(x)=-(2 x^2)/(x^2-1)^2+1/(x^2-1)-1=(-x^4+x^2-2)/(x^2-1)^2 <0

Barbidoux vous trouvez pas de solution ?

[Barbidoux]

et pour :

x <-1 ==> f(x)=-x+1+x/(x^2-1) et f'1(x)=-(2 x^2)/(x^2-1)^2+1/(x^2-1)-1=(-x^4+x^2-2)/(x^2-1)^2 <0

Barbidoux vous trouvez pas de solution ?