Bonjour à tous, j'aurais besoin de vos lumières pour quelques questions de cet exercice.
Partie A.
1/
Je trouve : a)
b) démonstration simple en multipliant "en haut et en bas" par la quantité conjuguée de .
c) On en déduit :
2/ Pas de problème particulier en a) et b), f est croissante sur
En revanche, en c), je ne sais pas si j'emploie la bonne méthode : De , f croissante et , on déduit : f(1/2) > 1/2 . Et comme f(1) > f(1/2), on a aussi f(1) > 1/2 .
Par ailleurs, , dont on peut montrer qu'il est inférieur à 1 . Donc f(1) < 1 et toujours en vertu de la croissance de f, f(1/2) < f(1) donc f(1/2) < 1 .
On a alors bien :
Partie B.
1/ et d'après ce qui précède , si , alors : . Héréditaire et vraie au rang 1, la propriété est vraie pour tout n dans N.
2/ Là je bloque !!
3/ Je dirais qu'en tant que suite décroissante et minorée par 1/2, (Un) converge vers son plus grand minorant qui est supérieur ou égal à 1/2 ... Pour ce qui est d'être une solution de f(x) = x, doit-on invoquer le théorème du point fixe ?
Partie C.
1/ Sans problème par le calcul de la dérivée.
2/ Pas de soucis pour montrer l'équivalence en faisant f(x) = x, mais je ne sais pas comment procéder pour déduire l'unicité de la solution a.
3/ Je ne sais pas comment procéder pour obtenir l'encadrement demandé.
Merci d'avance pour votre aide !