Classement

Attention à la terminologie... Le polynôme est un objet, il ne dépend pas de x. Tu peux soit dire "pour tout polynome à coefficients dans R", et à ce moment là l'objet de la discussion est le polynôme, ses racines, sa factorisation etc. ou alors énoncer une propriété pour tout x dans R mettant en jeu P(x). Dans notre cas on travaille d'abord sur P pour utiliser les théorèmes qu'on connaît sur les polynômes, par exemple pour trouver la factorisation, et ensuite on applique simplement à un x (qui peut être dans n'importe quel sous-ensemble, par exemple N) Je ne suis pas sûr de comprendre la question, donc voilà un exemple en espérant que ça devienne plus clair: soit x dans R, mettons que je veux factoriser x2+x-2 . Je pose P le polynôme dans C défini par P(X) = X2 +X -2. Mettons que je trouve ses racines, par exemple je vois par hasard que P(1) = 0 et P(-2) = 0, donc 1 et -2 sont racines. Donc par théorème (*) , P est divisible par X-1 et X+2 donc P(X) = (X-1) * (X+2) . Pour la suite notons Q(X) = (X-1) * (X+2), je viens de montrer que P = Q. Revenons à ce qu'on veut montrer. Soit x dans R, alors x appartient à C donc x2+x-2 = P(x). Or P = Q donc P(x) = Q(x), donc x2+x-2 = (x-1)(x+2) (*) si r est une racine de P, alors comment sait-on que P se factorise par (X - r) ? Et bien en fait il y a un théorème (niveau prépa) qui dit exactement ça, plus formellement: Soit P un polynôme quelconque, et r une racine de P, alors P est divisible par (X - r). La démonstration c'est en utilisant ton astuce en regardant le polynôme P(X) - P(r). Si r est une racine, alors par définition P(r) = 0, donc P(X) = P(X) - P(r). Donc P(X) = (an Xn + a1X + a0 ) - ( an rn + ... + a1 X + a0 ) = an (Xn - rn) + ... + a1 (X - r) , dont tous les membres sont divisibles par (X - r) grâce à la proposition que tu as citée plus haut.