Limite forme indéterminée

[pzorba75]

Bonjour (aux derniers courageux de l'année),

comment déterminer la limite en 1 \(\lim_{x\to 1^+}\dfrac{x\sqrt{x}-1+(x-1)\sqrt{x-1}}{\sqrt{x^2-1}}\)

en utilisant les règles apprises en terminale?

Merci d'avance.

[julesx]

Bonjour,

Au cas, surement improbable, où l'élève aurait entendu parler de la règle de l'Hospital, une possibilité est de se ramener à la partie qui pose problème, soit (x√x-1)/√(x-1) et de lui appliquer cette règle.

Il y a aussi la possibilité de poser x=1+ε mais le problème reste entier, l'élève sait-il que √(1+ε)≈1+ε/2 et sait-il "simplifier" ε² devant ε  ?

Sinon, je ne vois pas. J'ai posté pour remonter ton post en espérant qu'un vrai matheux s'y intéresse.

[pzorba75]

La règle de l'Hospital n'est pas admise en terminale, et c'est bien le problème pour lever l'indétermination.

Je coince également en partant de sqrt(x-1)<sqrt(x) pour x>1. 

[julesx]

Bonjour,

Une idée ?

Toujours en développant le numérateur, il vient
(x√x-1)/√(x²-1)+(x-1)√(x-1)/√(x²-1)=(x√x-1)/√(x²-1)+(x-1)/√(x+1)
Le deuxième terme tend vers 0, il reste le problème du premier.

J'ai pensé aux gendarmes...

0<(x√x-1)/√(x²-1) trivial
Par ailleurs
x>1 => √x<x => x√x<x² => x√x-1<x²-1 => (x√x-1)/√(x²-1)<√(x²-1)
Comme √(x²-1) tend vers 0, (x√x-1)/√(x²-1) est encadré par 0 et un terme qui tend vers 0, donc tend vers 0.

Ça se tient ou je suis à côté de la plaque ?

[Black Jack]

Bonjour,

[xVx - 1 + (x-1)V(x-1)]/V(x²-1)

= (xVx - 1)/(V(x-1).V(x+1)) + (x-1).V(x-1)/(V(x-1).V(x+1))

= (xVx - 1). (xVx + 1)/(V(x-1).V(x+1).(xVx + 1)) + (x-1)/V(x+1)

= (x³-1)/(V(x-1).V(x+1).(xVx + 1)) + (x-1)/V(x+1)

= (x-1)(x²+x+1)/(V(x-1).V(x+1).(xVx + 1)) + (x-1)/V(x+1)

= V(x-1) * (x²+x+1)/(V(x+1).(xVx + 1)) + (x-1)/V(x+1)

Et la lim pour x--> 1+ = 0 * 3/(V2 * 2) + 0/V2 = 0 + 0 = 0

Désolé pour l'écriture ... vivement Latex sur le site.

 

 

Modifié le 12 juin 2022 par Black Jack

[pzorba75]

Je valide cette réponse courageuse et subtile avec la factorisation de x^3-1.

Bonnes vacances, le forum va s'endormir tranquillement dans les prochaines heures.

[julesx]

Bonnes vacances également, de toute façon, ça fait un moment que le site est plus ou moins en léthargie.

[pzorba75]

Ce site est à l'image des programmes et de la réforme du baccalauréat :

- priorité à l'urgence climatique;$

- pas d'examen ni d'effort en période chaude;

- épreuve écrite de spécialité à la mi mars sur la moitié du programme;

épreuve de communication sur 2 sujets au choix du candidat lors du Grand Oral.

Avec le covid Omicron, le calendrier du bac 2022 et le report de l'épreuve de spécialité ont permis au site de vivoter de mars à mi mai.

L'an prochain, sauf crise internationale, climatique et sanitaire, tout sera bouclé après les vacances d'hiver. Ce qui permettra au gestionnaire du site de faire les travaux indispensables pour que son site conserve un peu de trafic. 

D'ici là et sans être vraiment optimiste, bonnes vacances à tous en profitant des belles journées d'été pour être prêts aux premières heures de septembre, la rentrée n'a jamais été aussi proche!