Changement de variable avec exponentielle

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous !

 

Soit à démontrer que  2e^2x - e^x - 1  est égal à (e^x - 1)(2e^x + 1) .

On peut naturellement développer l'expression de droite et arriver à celle de gauche. Mais je me posais la question suivante :

En posant X = e^x , 2e^2x - e^x - 1 devient : 2X² - X - 1  , dont les racines sont -1/2 et 1 et on peut donc écrire : 2X² - X - 1 = 2(X- 1/2)(X - 1) = (2X - 1)(X - 1)

En repassant à e^x , on a bien (2e^x + 1)(e^x - 1) .

Mais cette seconde méthode est-elle valable : en posant X = e^x , on pose implicitement X > 0 donc comment admettre de prendre en compte la racine -1/2 ? 

Mais pourtant, "ça marche" ... 🤨

 

Qu'en pensez-vous ?

[julesx]

Bonjour,

Moi, je pense qu'il faut distinguer deux démarches :

* La factorisation du trinôme ax²+bx+c.
La théorie montre qu'il peut se mettre sous la forme a(x+x₁)(x+x₂) si le discriminant b²-4ac est positif.
Les expressions de x₁ et de x₂ s'obtiennent en résolvant une équation du second degré. On retrouve la démarche ci-dessous, mais sans avoir à vérifier que les expressions obtenues sont compatibles avec ce que signifie x.

* la recherche des solutions de l'équation du second degré ax²+bx+c=0.
Si on a effectué la factorisation, ceci conduit à annuler les deux monômes en vérifiant, si nécessaire, que les expressions obtenues sont compatibles avec la définition de la variable x.

Donc, pour moi, ta demande  s'applique au premier cas, en passant, petite erreur de transcription, c'est 2X² - X - 1 = 2(X + 1/2)(X - 1). Comme tu ne recherches pas à résoudre l'équation, uniquement à trouver la factorisation, il n'y a pas incompatibilité avec les expressions trouvées

A noter qu'une autre démarche possible serait la suivante :
e^2x - e^x - 1 = e^2x - e^x + e^2x - 1 = e^x(e^x - 1) + (e^x - 1)(e^x +1) = (e^x - 1)(2e^2x + 1)

Mais ce que j'en dis...

[Black Jack]

il y a une heure, julesx a dit :

Bonjour,

Moi, je pense qu'il faut distinguer deux démarches :

* La factorisation du trinôme ax²+bx+c.
La théorie montre qu'il peut se mettre sous la forme a(x+x₁)(x+x₂) si le discriminant b²-4ac est positif.
Les expressions de x₁ et de x₂ s'obtiennent en résolvant une équation du second degré. On retrouve la démarche ci-dessous, mais sans avoir à vérifier que les expressions obtenues sont compatibles avec ce que signifie x.

* la recherche des solutions de l'équation du second degré ax²+bx+c=0.
Si on a effectué la factorisation, ceci conduit à annuler les deux monômes en vérifiant, si nécessaire, que les expressions obtenues sont compatibles avec la définition de la variable x.

Donc, pour moi, ta demande  s'applique au premier cas, en passant, petite erreur de transcription, c'est 2X² - X - 1 = 2(X + 1/2)(X - 1). Comme tu ne recherches pas à résoudre l'équation, uniquement à trouver la factorisation, il n'y a pas incompatibilité avec les expressions trouvées

A noter qu'une autre démarche possible serait la suivante :
e^2x - e^x - 1 = e^2x - e^x + e^2x - 1 = e^x(e^x - 1) + (e^x - 1)(e^x +1) = (e^x - 1)(2e^2x + 1)

Mais ce que j'en dis...

Bonjour,

C'est Ok ... juste des distractions dans la dernière ligne de calcul.

2e^2x - e^x - 1 = e^2x - e^x + e^2x - 1 = e^x(e^x - 1) + (e^x - 1)(e^x +1) = (e^x - 1)(2e^x + 1)

 

[julesx]

Bonjour,

Exact, c'est le sempiternel problème des "copier-coller" où on finit toujours par oublier une rectification.

[C8H10N4O2]

Il y a 4 heures, C8H10N4O2 a dit :

on peut donc écrire : 2X² - X - 1 = 2(X- 1/2)(X - 1) = (2X - 1)(X - 1)

Au temps pour moi, c'est bien sûr:  2X² - X - 1 = (2X + 1)(X - 1). 

[C8H10N4O2]

Le 03/03/2022 à 16:30, julesx a dit :

Bonjour,

Moi, je pense qu'il faut distinguer deux démarches :

* La factorisation du trinôme ax²+bx+c.
La théorie montre qu'il peut se mettre sous la forme a(x+x₁)(x+x₂) si le discriminant b²-4ac est positif.
Les expressions de x₁ et de x₂ s'obtiennent en résolvant une équation du second degré. On retrouve la démarche ci-dessous, mais sans avoir à vérifier que les expressions obtenues sont compatibles avec ce que signifie x.

* la recherche des solutions de l'équation du second degré ax²+bx+c=0.
Si on a effectué la factorisation, ceci conduit à annuler les deux monômes en vérifiant, si nécessaire, que les expressions obtenues sont compatibles avec la définition de la variable x.

Donc, pour moi, ta demande  s'applique au premier cas, en passant, petite erreur de transcription, c'est 2X² - X - 1 = 2(X + 1/2)(X - 1). Comme tu ne recherches pas à résoudre l'équation, uniquement à trouver la factorisation, il n'y a pas incompatibilité avec les expressions trouvées

A noter qu'une autre démarche possible serait la suivante :
e^2x - e^x - 1 = e^2x - e^x + e^2x - 1 = e^x(e^x - 1) + (e^x - 1)(e^x +1) = (e^x - 1)(2e^2x + 1)

Mais ce que j'en dis...

Je ne suis pas certain d'adhérer à cette distinction puisqu'il me semble que la factorisation du polynôme repose précisément (d'après moi mais je peux me tromper !) sur le théorème selon lequel : a racine de P(x) <=> P(x) = (x - a). Q(x)  , avec Q(x) un polynôme d'un degré moindre. 

 

 

Donc si on "refuse" ici de retenir - 1/2 comme racine en tant qu'il s'agit d'une valeur négative, j'ai du mal à admettre qu'on puisse obtenir la factorisation souhaitée.

Je coupe peut-être les cheveux en quatre, mais ce changement de variable me semble douteux du fait de ce qu'il ne semble pas tenir compte de la condition X > 0

Modifié le 5 mars 2022 par C8H10N4O2

[julesx]

Si tu ne veux pas passer par le changement de variable, tu peux utiliser l'autre démarche que je t'ai suggérée.

D'un autre côté, si on ne se limite pas au corps des réels, e^x négatif a un sens.

Mais je n'ai pas les connaissances suffisantes pour démontrer quoi que ce soit. C'est simplement la façon dont, moi, je vois les choses.

 

[Black Jack]

Il y a 2 heures, julesx a dit :

Si tu ne veux pas passer par le changement de variable, tu peux utiliser l'autre démarche que je t'ai suggérée.

D'un autre côté, si on ne se limite pas au corps des réels, e^x négatif a un sens.

Mais je n'ai pas les connaissances suffisantes pour démontrer quoi que ce soit. C'est simplement la façon dont, moi, je vois les choses.

 

Bonjour,

Oui, avec x dans C :

Exemple :  e^x + a = 0 avec a > 0

Solutions : x = ln(a) + i.Pi*(1 + 2k)  avec k dans Z

****

Que l'on vérifie : e^x = e^(ln(a) + i.Pi*(1 + 2k)) = e^ln(a) * e^(i.Pi*(1 + 2k)) = a * (cos((1+2k)Pi) + i.sin(1+2k).Pi)) = a * (-1 + 0*i) = -a

 

 

 

 

 

[C8H10N4O2]

Le 05/03/2022 à 16:29, julesx a dit :

Si tu ne veux pas passer par le changement de variable, tu peux utiliser l'autre démarche que je t'ai suggérée.

D'un autre côté, si on ne se limite pas au corps des réels, e^x négatif a un sens.

Mais je n'ai pas les connaissances suffisantes pour démontrer quoi que ce soit. C'est simplement la façon dont, moi, je vois les choses.

 

Oui , 2e^2x - e^x - 1 = e^2x - e^x + e^2x - 1 = e^x(e^x - 1) + (e^x - 1)(e^x +1) = (e^x - 1)(2e^x + 1)  est effectivement une solution astucieuse.

Je vais continuer à me creuser les méninges sur la validité du changement de variable 😅

[CitronVert]

Le raisonnement est tout à fait correct. Si vous n'êtes pas convaincu je vous conseille simplement d'écrire le raisonnement complet et uniquement à coup de "Soit x" et d'implications logiques pour voir qu'à aucun moment le fait que X>0 ne joue un rôle.

Il y a 3 propositions importantes dans votre raisonnement.

• P1 : Soit p un polynôme dans C. Alors il se factorise selon ses racines: p(x) = k (x - a1)(x - ...)(x - an)
• P2 : Soit X dans C. Alors 2X² - X - 1 = (2X + 1)(X - 1)
• P3 : Soit X>0. Alors 2X² - X - 1 = (2X + 1)(X - 1)

P1 est vraie d'après votre théorème.

P2 est la conséquence directe de P1.

P3 se déduit trivialement de P1.

Plus formellement, il faut bien faire la différence entre le théorème sur le polynôme (P1) et le théorème sur X (P3).

Le 05/03/2022 à 14:59, C8H10N4O2 a dit :

la factorisation du polynôme repose précisément (d'après moi mais je peux me tromper !) sur le théorème selon lequel : a racine de P(x) <=> P(x) = (x - a).

La preuve de ce théorème repose en effet sur le fait que P est un polynôme dans R (donc pas vrai si on impose X>0 aux valeurs de la variable).

Par contre, dans votre exemple, vous prenez bien un polynôme dans R. Même si vous savez secrètement que le X qui vous intéressera plus tard est dans R+, le théorème sur le polynôme lui s'applique dans R (en fait, un polynôme par définition ne peut même pas être à valeurs dans R+, car l'inconnue doit être dans un anneau). De ce théorème vous déduisez une propriété P(X) vraie pour tout X dans R. Puis vous en déduisez trivialement qu'elle est vraie pour tout X>0. Non pas grâce aux propriétés des polynômes mais grâce aux propriétés des propositions. Si P(X) est vrai pour tout X dans A, alors P(X) est vraie pour tout X dans un sous-ensemble de A.

En particulier votre preuve reste tout autant vraie pour X dans N, ou pour X posé égal à 42, etc.

 

Modifié le 12 mars 2022 par CitronVert

[C8H10N4O2]

Le 12/03/2022 à 06:04, CitronVert a dit :

Le raisonnement est tout à fait correct. Si vous n'êtes pas convaincu je vous conseille simplement d'écrire le raisonnement complet et uniquement à coup de "Soit x" et d'implications logiques pour voir qu'à aucun moment le fait que X>0 ne joue un rôle.

Il y a 3 propositions importantes dans votre raisonnement.

• P1 : Soit p un polynôme dans C. Alors il se factorise selon ses racines: p(x) = k (x - a1)(x - ...)(x - an)
• P2 : Soit X dans C. Alors 2X² - X - 1 = (2X + 1)(X - 1)
• P3 : Soit X>0. Alors 2X² - X - 1 = (2X + 1)(X - 1)

P1 est vraie d'après votre théorème.

P2 est la conséquence directe de P1.

P3 se déduit trivialement de P1.

Plus formellement, il faut bien faire la différence entre le théorème sur le polynôme (P1) et le théorème sur X (P3).

La preuve de ce théorème repose en effet sur le fait que P est un polynôme dans R (donc pas vrai si on impose X>0 aux valeurs de la variable).

Par contre, dans votre exemple, vous prenez bien un polynôme dans R. Même si vous savez secrètement que le X qui vous intéressera plus tard est dans R+, le théorème sur le polynôme lui s'applique dans R (en fait, un polynôme par définition ne peut même pas être à valeurs dans R+, car l'inconnue doit être dans un anneau). De ce théorème vous déduisez une propriété P(X) vraie pour tout X dans R. Puis vous en déduisez trivialement qu'elle est vraie pour tout X>0. Non pas grâce aux propriétés des polynômes mais grâce aux propriétés des propositions. Si P(X) est vrai pour tout X dans A, alors P(X) est vraie pour tout X dans un sous-ensemble de A.

En particulier votre preuve reste tout autant vraie pour X dans N, ou pour X posé égal à 42, etc.

 

Merci beaucoup ! 

[C8H10N4O2]

Le 12/03/2022 à 06:04, CitronVert a dit :

Le raisonnement est tout à fait correct. Si vous n'êtes pas convaincu je vous conseille simplement d'écrire le raisonnement complet et uniquement à coup de "Soit x" et d'implications logiques pour voir qu'à aucun moment le fait que X>0 ne joue un rôle.

Il y a 3 propositions importantes dans votre raisonnement.

• P1 : Soit p un polynôme dans C. Alors il se factorise selon ses racines: p(x) = k (x - a1)(x - ...)(x - an)
• P2 : Soit X dans C. Alors 2X² - X - 1 = (2X + 1)(X - 1)
• P3 : Soit X>0. Alors 2X² - X - 1 = (2X + 1)(X - 1)

P1 est vraie d'après votre théorème.

P2 est la conséquence directe de P1.

P3 se déduit trivialement de P1.

 

 

de P2

[C8H10N4O2]

Le 12/03/2022 à 06:04, CitronVert a dit :

De ce théorème vous déduisez une propriété P(X) vraie pour tout X dans R. Puis vous en déduisez trivialement qu'elle est vraie pour tout X>0. Non pas grâce aux propriétés des polynômes mais grâce aux propriétés des propositions. Si P(X) est vrai pour tout X dans A, alors P(X) est vraie pour tout X dans un sous-ensemble de A.

En particulier votre preuve reste tout autant vraie pour X dans N, ou pour X posé égal à 42, etc.

 

Question peut-être triviale mais je me demandais comment on démontre que la propriété de factorisation d'un polynôme à partir de ses racines est vraie pour tout x dans R 🤔

Je sais démontrer  pour tout entier k naturel non nul et je tire la démo plus générale à partir de là, mais d'où vient que cette égalité est vraie pour tout x réel ?

Merci d'avance pour vos éclaircissements 

[CitronVert]

Le 24/05/2022 à 10:49, C8H10N4O2 a dit :

Question peut-être triviale mais je me demandais comment on démontre que la propriété de factorisation d'un polynôme à partir de ses racines est vraie pour tout x dans R 🤔

Je sais démontrer  pour tout entier k naturel non nul et je tire la démo plus générale à partir de là, mais d'où vient que cette égalité est vraie pour tout x réel ?

Merci d'avance pour vos éclaircissements 

 

Citation

la propriété de factorisation d'un polynôme à partir de ses racines est vraie pour tout x dans R

Attention à la terminologie... Le polynôme est un objet, il ne dépend pas de x. Tu peux soit dire "pour tout polynome à coefficients dans R", et à ce moment là l'objet de la discussion est le polynôme, ses racines, sa factorisation etc. ou alors énoncer une propriété pour tout x dans R mettant en jeu P(x). Dans notre cas on travaille d'abord sur P pour utiliser les théorèmes qu'on connaît sur les polynômes, par exemple pour trouver la factorisation, et ensuite on applique simplement à un x (qui peut être dans n'importe quel sous-ensemble, par exemple N)

Je ne suis pas sûr de comprendre la question, donc voilà un exemple en espérant que ça devienne plus clair: soit x dans R, mettons que je veux factoriser x²+x-2 .

Je pose P le polynôme dans C défini par P(X) = X² +X -2. Mettons que je trouve ses racines, par exemple je vois par hasard que P(1) = 0 et P(-2) = 0, donc 1 et -2 sont racines. Donc par théorème (*) , P est divisible par X-1 et X+2 donc P(X) = (X-1) * (X+2) . Pour la suite notons Q(X) = (X-1) * (X+2), je viens de montrer que P = Q.

Revenons à ce qu'on veut montrer. Soit x dans R, alors x appartient à C donc x²+x-2 = P(x). Or P = Q donc P(x) = Q(x), donc x²+x-2 = (x-1)(x+2)

 

(*) si r est une racine de P, alors comment sait-on que P se factorise par (X - r) ? Et bien en fait il y a un théorème (niveau prépa) qui dit exactement ça, plus formellement: Soit P un polynôme quelconque, et r une racine de P, alors P est divisible par (X - r). La démonstration c'est en utilisant ton astuce en regardant le polynôme P(X) - P(r). Si r est une racine, alors par définition P(r) = 0, donc P(X) = P(X) - P(r). Donc P(X) = (a_n Xⁿ + a₁X + a₀ ) - ( a_n rⁿ + ... + a₁ X + a₀ ) = a_n (Xⁿ - rⁿ) + ... + a₁ (X - r) , dont tous les membres sont divisibles par (X - r) grâce à la proposition que tu as citée plus haut.

 

 

[C8H10N4O2]

Le 28/05/2022 à 02:49, CitronVert a dit :

Et bien en fait il y a un théorème (niveau prépa) qui dit exactement ça, plus formellement: Soit P un polynôme quelconque, et r une racine de P, alors P est divisible par (X - r). La démonstration c'est en utilisant ton astuce en regardant le polynôme P(X) - P(r). Si r est une racine, alors par définition P(r) = 0, donc P(X) = P(X) - P(r). Donc P(X) = (a_n Xⁿ + a₁X + a₀ ) - ( a_n rⁿ + ... + a₁ X + a₀ ) = a_n (Xⁿ - rⁿ) + ... + a₁ (X - r) , dont tous les membres sont divisibles par (X - r) grâce à la proposition que tu as citée plus haut.

 

 

Merci d'avoir pris le temps de rédiger cette réponse éclairante.

Oui je suis familier de ce théorème qui part si je me souviens bien de la démonstration par récurrence de  pour tout entier naturel n non nul.

Ma question était de savoir comment justifier que notre variable y puisse prendre toute valeur réelle.

[CitronVert]

Quand tu montres cette propriété c'est déjà pour y réel.

La démonstration va ressembler à ça:

Propriété à montrer "P(n): Soit y dans R, alors y^n - 1 = ..."  (note que le soit y dans R est inclus dans l'énoncé)

Démonstration:

Initialisation: (n=1) Soit y dans R, alors y-1 = y-1, donc P(1) est vraie

Récurrence: soit n, supposons P(n)

Soit y dans R, alors P(n) nous donne que y^n - 1 = ... donc (blablabla beaucoup de formules que je passe) donc y^(n+1) - 1 = ....

C'est vrai pour tout y dans R, donc P(n+1) est vraie.

 

Donc par récurrence, on a montré que P(n) est vrai pour tout n>=1, on en déduit la propriété générale: pour tout y dans R, tout n dans N, on a y^n - 1 = ...

[C8H10N4O2]

Il y a 10 heures, CitronVert a dit :

Quand tu montres cette propriété c'est déjà pour y réel.

La démonstration va ressembler à ça:

Propriété à montrer "P(n): Soit y dans R, alors y^n - 1 = ..."  (note que le soit y dans R est inclus dans l'énoncé)

Démonstration:

Initialisation: (n=1) Soit y dans R, alors y-1 = y-1, donc P(1) est vraie

Récurrence: soit n, supposons P(n)

Soit y dans R, alors P(n) nous donne que y^n - 1 = ... donc (blablabla beaucoup de formules que je passe) donc y^(n+1) - 1 = ....

C'est vrai pour tout y dans R, donc P(n+1) est vraie.

 

Donc par récurrence, on a montré que P(n) est vrai pour tout n>=1, on en déduit la propriété générale: pour tout y dans R, tout n dans N, on a y^n - 1 = ...

D'accord, donc c'est une sorte de postulat qu'on énonce. J'aurais aimé savoir comment on peut affirmer que toutes les valeurs réelles donnent effectivement une expression qui fait sens si on attribue à "y" leur valeur. J'imagine qu'on peut démontrer que la fonction y->y^n - 1 est définie sur R

Mais peut-être que je chipote...

[CitronVert]

Ce n'est pas du chipotage par contre je ne comprends pas exactement quelle partie de la démonstration te pose problème.

Les seuls "postulats" sont les axiomes classiques: entiers/réels et quantificateurs, par exemple que 2 réels peuvent toujours être multipliés, que a*b=b*a, etc. J'imagine que tu ne mets pas ceux-là en doute, mais si c'est le cas alors il faut que tu ouvres un bouquin de maths fondamentales (ce que je ne te conseille pas car toute cette partie est considérée comme admise dans 99.99% des cursus maths/physique). En plus "light" tu peux lire les premiers chapitres d'un livre de 1ère année de prépa où cette partie est abordée de façon assez digérable.

 

Le 06/06/2022 à 10:40, C8H10N4O2 a dit :

J'imagine qu'on peut démontrer que la fonction y->y^n - 1 est définie sur R

Oui facilement mais il faut savoir ce que ^n signifie. Pour n entier positif, la puissance est définie par récurrence de cette façon: soit y dans R, on pose y^0 = 1 et pour tout n, y^(n+1) = y^n * y. Un peu moins formellement, y^n est "y multiplié par lui même n fois". Or par définition/axiomes des réels la multiplication de 2 réels est toujours un réel donc toutes les puissances y^n sont définies (démonstration par récurrence triviale). On a donc montré que, quasiment par définition, pour y réel, y^n est toujours réel.

Note qu'il faut que n soit entier positif pour que cette démonstration marche, pour n entier relatif la définition change (divisions) et donc la démonstration change aussi, et elle change encore pour n réel (logarithmes).

Le 06/06/2022 à 10:40, C8H10N4O2 a dit :

J'aurais aimé savoir comment on peut affirmer que toutes les valeurs réelles donnent effectivement une expression qui fait sens si on attribue à "y" leur valeur.

Pas sûr de comprendre la question, mais l'une des premières choses qu'on montre en prépa est que pour tous a,b réels, les expressions suivantes restent définies et réelles: a+b, a-b, a*b, a^n, et a/b si b est non nul. Donc y^n est réel, donc (y^n) - 1 est réel . On en déduit assez facilement que toute combinaison y^n + a* y^(n-1) + ... est réelle et donc la validité des polynômes. Tout cela prend des heures, et à force d'usage toute la partie définition/validité est passée car considérée comme évidente dans ce genre d'exercices, mais fondamentalement elle ne l'est pas pour quelqu'un qui ne l'a jamais vue auparavant (notamment si tu es au lycée - on a pas le temps de voir les définitions correctement avec 4h par semaine donc on les passe et on espère que les élèves ne se poseront pas des questions trop fondamentales)

 

Modifié le 9 juin 2022 par CitronVert