Dérivation

[olympeaaa]

Bonjour !

Je suis en classe de Première avec spécialité mathématiques. J’ai un dm de maths justement, sur la dérivation.

Je pense avoir bien réussi l’exercice mais j’ai un petit problème pour la justification.

Voilà l’énoncé :

f(x)= x+1/x donc sa fonction dérivée est ;

f’(x)= 1-1/x²

=x²/x² – 1/x²

=(x²-1)/x²

(x²-1)=0 pour x=1 et x=-1

x²=0 pour x=0 (valeur interdite)

x	0                       1	+∞
x²-1	-	+
x²	+	+
f’(x)	-	+
f(x)	(flèche décroissante)                        2	(flèche croissante)

f(1)=2

(il y a une double barre sur la colonne où figure le 0 pour montrer qu'il s'agit d'une valeur interdite)

(je suis vraiment désolée le tableau est très mal fait mais je pense que vous avez compris le principe)

Le minimum sur l’intervalle ]0;+∞[ est 2, donc pour tous x appartenant à ]0;+∞[ on a f(x)≥2.

Maintenant j’ai du mal à montrer que pour tous réels strictement positifs a et b on a a/b+b/a ≥2.

On voit clairement que la fonction f(x)= x+1/x est de la forme a/b+b/a avec x=a et 1=b ou x=b et 1=a. Mais je ne sais pas si cela suffit à montrer que c’est le cas pour tous réels strictement positifs a et b.

Pourriez-vous m’aider s’il-vous-plaît ?

Merci d’avance ! Bonne fin de journée

[PAVE]

Bonjour,

Tu as démontré que :

Citation

pour tous x appartenant à ]0;+∞[ on a f(x)≥2  

Pour tout x appartenant à ]0;+∞[ on a x+1/x ≥2

Si un nombre est strictement positif, son inverse l'est également et leur somme est 2.

La somme d'un nombre strictement positif et de son inverse est toujours supérieur ou égal à 2

d'où :

Si a et b sont 2 nombres strictement positifs, leur quotient a/ b  que l'on peut noté x est strictement positif.

L'inverse de ce quotient, 1/x = b/a est lui aussi strictement positif..... 

a/b et son inverse b/a  sont 2 nombres strictement positifs donc....

[volcano47]

oui mais enfin, si on dit que ceci est équivalent à (a²+b²) /ab   2 donc (a-b)²  0, c'est bien vérifié ; ou alors je commet une énorme bourde...