Devoir de maths

[Mariiie]

J'ai essayé de faire mon devoir de maths sauf que je bloque au moment de montrer que la courbe est au dessous de ses tangentes. J'ai commencé à faire ça :

f(x)= 2x+3-e^x 

f'(x)=2-e^x

Equation de tangente: y=x+2

A partir de là, je dois montrer que f(x)-y<0 pour montrer que la courbe est au dessous de ses tangentes. Sauf que en faisant l'inequation je trouve que ce n'est pas du tout inférieure à 0. J'ai besoin d'aide svp

(la photo c'est l'exercice 3)

[pzorba75]

Tu as certainement vu dans le cours la convexité, c'est le moment d'appliquer la propriété des fonctions concaves. En s'occupant du signe de la dérivée seconde, par exemple.

[Black Jack]

Bonjour,

 

f(x) = 2x + 3 - e^x

f'(x) = 2 - e^x

f(a) = 2a + 3 - e^a
f'(a) = 2 - e^a 

Ceci permet de trouver l'équation de la tangente à la courbe représentant f(x) au point d'abscisse a.

Tu devrais trouver : Ta : y = (2-e^a).x + (a-1).e^a + 3 
***
La courbe représentant f(x) sera en dessous de toutes ses tangentes, si pour tout a de R, on a :
 
f(x) - ((2-e^a).x + (a-1).e^a + 3) 0 (le = aux points de tangence)

Il te faut donc démontrer que : 2x + 3 - e^x - ((2-e^a).x + (a-1).e^a + 3) 0 pour tout a de R.

soit g(x) = 2x + 3 - e^x - ((2-e^a).x + (a-1).e^a + 3)

Tu étudies les variations de la fonction g

g'(x) = ...
signe de g'(x) ...
Et tu devrais pouvoir conclure que g est minimum pour x = a et que ce minimum vaut g(a) = - e^a + e^a * a - a.e^a + e^a = 0

... Et que donc 2x + 3 - e^x - ((2-e^a).x + (a-1).e^a + 3) 0 pour tout a de R.

Et pouvoir conclure que  la courbe représentant f(x) est en dessous de toutes ses tangentes.

 

[Mariiie]

Bonsoir,

J'ai trouvé :

g'(x)=-e^x+e^a

le signe de cette dérivée est négative

par contre, je ne comprends pas quand vous dites que g est minimum pour x=a. Aussi, vous avez remplacer g(x) par g(a) ? Parce que je ne comprends pas d'où vient cette expression.

 

[julesx]

OK pour g'(x) mais cette fonction n'est pas toujours négative !

-e^x+e^a=0 pour x=a, -e^x+e^a>0 pour x<a et -e^x+e^a<0 pour x>a (voir comportement de la fonction exponentielle). Le cas x=a était d'ailleurs évident, la distance entre la courbe et sa tangente étant forcément nulle au point de tangence !

Partant de là, tu vois que
g(x) croît entre moins l'infini et 0
g(x) décroît entre 0 et l'infini
donc que g(x) passe effectivement par un maximum pour x=a, ce maximum valant bien 0, il s'ensuit que g(x) est toujours négatif et nul.
Tu en déduis que la courbe est toujours sous sa tangente.

Cela dit, revois la réponse de pzorba, c'est beaucoup plus simple avec sa méthode.

[Mariiie]

Je comprends mieux. C'est vrai qu'avec la méthode de la dérivée seconde, je peux directement montrer que la courbe est au dessous de ses tangentes. Je fairai les deux méthodes. Merci beaucoup !:)

[Black Jack]

Il y a 18 heures, julesx a dit :

OK pour g'(x) mais cette fonction n'est pas toujours négative !

-e^x+e^a=0 pour x=a, -e^x+e^a>0 pour x<a et -e^x+e^a<0 pour x>a (voir comportement de la fonction exponentielle). Le cas x=a était d'ailleurs évident, la distance entre la courbe et sa tangente étant forcément nulle au point de tangence !

Partant de là, tu vois que
g(x) croît entre moins l'infini et 0
g(x) décroît entre 0 et l'infini
donc que g(x) passe effectivement par un maximum pour x=a, ce maximum valant bien 0, il s'ensuit que g(x) est toujours négatif et nul.
Tu en déduis que la courbe est toujours sous sa tangente.

Cela dit, revois la réponse de pzorba, c'est beaucoup plus simple avec sa méthode.

g(x) croît pour x entre moins l'infini et a
g(x) décroît pour x entre a et l'infini

 

Modifié le 18 décembre 2021 par Black Jack

[julesx]

Dans ma réponse ce sont les valeurs extrêmes de g(x) dont je parlais, pas de celles de x. OK, c'était un peu mal formulé, en fait, je voulais me passer du tracé d'un tableau de variations, même sommaire.