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Développement limité


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Bonsoir à tous,

J'ai une petite question concernant le DL au voisinage de a d'une fonction qui tend vers l'infini quand x -> a .

Par exemple le DL en 0 de image.png.626211491c0b78d9fd6f020f177a11de.png  .  

Je lis dans mon manuel que l'emploi de la formule de Taylor permettant de déterminer les coefficients de la partie polynomiale à partir des dérivées successives en 0 n'est pas possible car on a f(0) qui tend vers l'infini. Ça me paraît effectivement éliminer cette méthode.

En effectuant la division ploynomiale de 1 par le DL de sin(x) au voisinage de 0 , on obtient :

image.png.861d64b69ca8b410a9c6782b95fb07db.png

Je comprends la démarche mais voilà ma question : en quoi le problème est-il réglé puisqu'on se retrouve quand même avec le 1er terme (1/x) qui tend vers l'infini quand x ->0 ? 🤔

En quoi la présence d'un infini est ici acceptable alors que tous les monômes du DL sont censés être des infiniments petits en 0 ?

 

Si vous avec une opinion sur la question, je suis tout ouïe !

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  • E-Bahut

Moi, le résultat me paraît tout à fait cohérent. Lorsque x tend vers 0, 1/sin(x) tend vers l'infini. Dans le développement, tu dois forcément trouver au moins un terme qui tend vers l'infini, c'est le cas du 1/x. Le développement ne contient des monômes infiniment petits que si la fonction elle-même tend vers 0, non ?

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Il y a 18 heures, julesx a dit :

Moi, le résultat me paraît tout à fait cohérent. Lorsque x tend vers 0, 1/sin(x) tend vers l'infini. Dans le développement, tu dois forcément trouver au moins un terme qui tend vers l'infini, c'est le cas du 1/x. Le développement ne contient des monômes infiniment petits que si la fonction elle-même tend vers 0, non ?

Remarque très juste. J'ai un peu de mal avec les D.L. de ce type. D'après la définition fondamentale d'un développement limité, chaque monôme de la partie polynomiale doit être un infiniment petit d'ordre supérieur au monôme qui le précède. Donc ce genre de terme infini me froisse un peu, car cette règle n'est alors plus respectée. Mais d'après ce que je comprends, c'est le mieux que l'on puisse faire pour élargir le concept de D.L. à ce type de fonction. 

Merci pour cette réponse et bon dimanche.

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  • E-Bahut

Bonjour,

J'avoue honnêtement que le concept de DL pour ce type de comportement me dépasse. Mais je n'ai pas étudié à fond les mathématiques et, a fortiori, pas enseigné cette matière puisque j'ai été professeur de physique appliquée. Peut-être que tu auras une réponse plus argumentée d'un autre intervenant.

Bon dimanche également.

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