Démonstration par récurrence

[C8H10N4O2]

Bonjour à toutes et tous,

Voici un petit exercice en théorie simple mais sur lequel je bloque : 

Soit (Un) la suite définie par U₀ = 1 et U_n+1 = (1/3)U_n + n - 2

Il s'agit de montrer par récurrence que pour tout n 5,   U_n n - 3 . 

Alors pour l'initialisation du raisonnement, je suppose qu'il faut montrer que la proposition U_n  n - 3 est vérifiée pour n = 5 . Comment procéder ? Doit-on nécessairement passer par un tableur ou la calculatrice ?

Et pour montrer le caractère héréditaire de la proposition, je suis parti de l'hypothèse U_n  n - 3 pour aboutir à (1/3)U_n + n -2  (4/3)n - 3  <=> U_n+1  (4/3)n - 3   , mais je ne suis guère plus avancé...

Auriez-vous une idée pour débloquer la situation ?

Merci d'avance  

Modifié le 7 novembre 2021 par C8H10N4O2

[julesx]

Bonjour,

En attendant qu'un matheux te réponde...

Pour moi, vu comment U_n se calcule, pour l'initialisation, je ne voit pas d'autre solution qu'un calcul successif pour arriver à U₅. par exemple avec une calculette ou un tableau "à la main". 

Quant à l'hérédité, ta démarche est correcte, il suffit ensuite d'écrire que (4/3)n=n+n/3. Comme n5, n/35/3>1  donc (4/3)n-3n+1-3.

[C8H10N4O2]

Merci beaucoup, je coinçais un peu sur la fin.

Donc de n/3  1 , il vient n + n/3  n + 1 <=> n + n/3 - 3  n + 1 - 3 <=> U_n+1  (n + 1) - 3  ,  ce qui montre l'hérédité de la proposition.

Pour l'initialisation, j'avais effectivement calculé à la main tous les termes jusqu'à U₅ mais comme le processus me paraissait laborieux, je me demandais si c'était réellement ce qui était attendu pour cet exercice.