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Démonstration par récurrence


C8H10N4O2
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Bonjour à toutes et tous,

Voici un petit exercice en théorie simple mais sur lequel je bloque

Soit (Un) la suite définie par U= 1 et Un+1 = (1/3)Un + n - 2

Il s'agit de montrer par récurrence que pour tout n >= 5,   Un>= n - 3 . 

Alors pour l'initialisation du raisonnement, je suppose qu'il faut montrer que la proposition Un >= n - 3 est vérifiée pour n = 5 . Comment procéder ? Doit-on nécessairement passer par un tableur ou la calculatrice ?

Et pour montrer le caractère héréditaire de la proposition, je suis parti de l'hypothèse Un >= n - 3 pour aboutir à (1/3)Un + n -2 >= (4/3)n - 3  <=> Un+1 >= (4/3)n - 3   , mais je ne suis guère plus avancé...

Auriez-vous une idée pour débloquer la situation ?

Merci d'avance :) 

Modifié par C8H10N4O2
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  • E-Bahut

Bonjour,

En attendant qu'un matheux te réponde...

Pour moi, vu comment Un se calcule, pour l'initialisation, je ne voit pas d'autre solution qu'un calcul successif pour arriver à U5. par exemple avec une calculette ou un tableau "à la main". 

Quant à l'hérédité, ta démarche est correcte, il suffit ensuite d'écrire que (4/3)n=n+n/3. Comme n>=5, n/3>=5/3>1  donc (4/3)n-3>=n+1-3.

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Merci beaucoup, je coinçais un peu sur la fin.

Donc de n/3 >= 1 , il vient n + n/3 >= n + 1 <=> n + n/3 - 3 >= n + 1 - 3 <=> Un+1 >= (n + 1) - 3  ,  ce qui montre l'hérédité de la proposition.

Pour l'initialisation, j'avais effectivement calculé à la main tous les termes jusqu'à U5 mais comme le processus me paraissait laborieux, je me demandais si c'était réellement ce qui était attendu pour cet exercice. 

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