je n'arrive pas à résoudre ce problème avec mon fils

[hajar.bkre]

Bonsoir,

de l'aide svp á pour résoudre ce problème :

 

Merci

[pzorba75]

Cet exercice ne peut être résolu par un élève de seconde, si cet élève n'est pas en seconde mettre à jour le profil.

Pour le 1), il faut partir de la somme 1+x+x^2+...x^n=(1-x^{n+1)/(1-x), dériver les deux termes de cette équation et de regarder ce qui arrive en posant x=-1 ce qui permet d'utiliser l'expression de la somme des termes.

C'est du calcul assez délicat. Je te laisse le soin d'avancer et de montrer ce que tu obtiens pour aller au résultat.

Pour les questions 2) et 3), je n'ai pas d'idées. C'est dimanche...

À toi de travailler.

[Black Jack]

Bonjour,

Autre méthode ... par récurrence.

Je fais le premier en détaillant ...

Supposons que S(k=1 à n) k = [(-1)^n*(2n+1) - 1]/4 est vrai pour une certaine valeur q de n, on a alors :

S(k=1 à q) k = [(-1)^q*(2q+1) - 1]/4

on ajoute (-1)^(q+1) * (q+1) au 2 membres -->

S(k=1 à q+1) k = [(-1)^q*(2q+1) - 1]/4 + (-1)^(q+1) * (q+1)

S(k=1 à q+1) k = [(-1)^q*(2q+1) - 1]/4 - (-1)^q * (q+1)

S(k=1 à q+1) k = [(-1)^q*(2q+1) - 1]/4 - 4*(-1)^q * (q+1)/4

S(k=1 à q+1) k = [(-1)^q * (2q+1) - 1 - 4*(-1)^q * (q+1)]/4

S(k=1 à q+1) k = (-1)^q [(2q+1) - 4(q+1)) - 1 ]/4

S(k=1 à q+1) k = (-1)^q (-2q - 3)/4

S(k=1 à q+1) k = (-1)^(q+1) (2q + 3)/4

S(k=1 à q+1) k = (-1)^(q+1) (2(q+1) + 1)/4  

Et donc si  S(k=1 à n) k = [(-1)^n*(2n+1) - 1]/4 est vrai pour une certaine valeur q de n, c'est encore vrai pour n = q+1  (1)

Avec n = 1 on vérifie que S(k=1 à n) k = [(-1)^n * (2n+1) - 1]/4 est vrai ... c'est le cas (on trouve -1 = -1) (2)

Par (1) et (2), on a S(k=1 à n) k = [(-1)^n*(2n+1) - 1]/4 est vrai pour tout n de N*

[Black Jack]

Rebonjour,

 

Suite ... et fin

2)

Si j'interprète bien les notations ... l'énoncé 2 me semble faux.

Si je calcule, par exemple, pour n = 2, on a :

S(dek=1 à 4) sqrt(k) = sqrt(1) + sqrt(2) + sqrt(3) + sqrt(4) dans le membre de gauche.

et 2 * (4*2² - 3*2 + 5)/6 = 4 dans le memebre de droite.

Les 2 membres ne sont pas égaux ... et donc erreur.

Sauf si les [ ] du membre de gauche ont ici une signification que je ne connais pas.
***************

3)
Supposons la proposition vraie pour une certaine valeur d de n, on a alors :

P(de k=1 à d) (d+k) = 2^d * P(de k=1 à d) (2k - 1)

Une notation sans utiliser la notation P (produit) donne :

(d+1) * (d+2) * (d+3) ... * (d + d) dans le membre de gauche

2^d * (1 * 3 * 5 * ... *(2d-1)) dans le membre de droite

En multipliant les 2 membres par 2*(2d + 1) :

Le membre de gauche devient : 2 * (d+1) * (d+2) * (d+3) ... * (d + d) * (2d + 1)

= 2*(d+1) * [(d+2) * (d+3) * ... * (d + d) * (2d + 1)]
= 2*(d+1) * [(d+1)+1) * (d+1)+2) * ...  * ((d + 1)+d)]
= (d+1)+1) * (d+1)+2) * ...  * ((d + 1)+d) * ((d+1)+(d+1))
= P(de k=1 à (d+1)) ((d+1)+k)

Le membre de droite devient : 2^d * (1 * 3 * 5 * ... *(2d-1)) * 2*(2d + 1)
= 2^(d+1) * (1 * 3 * 5 * ... *(2d-1) * (2d + 1))
= 2^(d+1) * P(dek=1 à (d+1)) (2k - 1)

On a donc P(de k=1 à (d+1)) ((d+1)+k) = 2^(d+1) * P(dek=1 à (d+1)) (2k - 1)

Donc si P(de k=1 à n) (n+k) = 2^n * P(de k=1 à n) (2k - 1) est vrai pour k = d, c'est encore vrai pour k = d+1  (1)

Comme P(de k=1 à n) (n+k) = 2^n * P(de k=1 à n) (2k - 1) est vrai pour n = 1 (on trouve 2 = 2), par (1), on a :

 P(de k=1 à n) (n+k) = 2^n * P(de k=1 à n) (2k - 1) est vrai pour tout n de N*
************
Rien relu ... et donc toutes distractions incluses.

 

[julesx]

Pour le 2), il faut comprendre [√k] comme partie entière de racine de k. Je ne connaissais pas non plus cette notation, j'ai trouvé l'explication sur le net.

Partant de là, on peut voir que, de (k-1)² à k² il y a 2k-1 termes, tous de valeur k-1 sauf le dernier qui vaut k. La somme de ces termes peut donc s'écrire (k-1)*(2k-1)+1.

On a donc ∑₁^n²[√k]=∑₁ⁿ((k-1)(2k-1)+1)=∑₁ⁿ(2k²-3k+2) qui vaut effectivement n*(4n²-3n+5)/6.

 

Pour le 3), on peut simplifier l'écriture en passant par des rapports de factorielles

[Black Jack]

Bonjour,

Ah bon, pour moi le symbole de "partie entière" n'est pas celui-là.

Ce sont des espèces de crochets mais sans les petites barres supérieures, comme indiqué ici (ou sur la plupart des sites de math)

Mais c'est vrai que ce n'est pas demain la veille que tous les matheux utiliseront les mêmes symboles et mêmes définitions pour une même notion.

 

 

 

Modifié le 10 novembre 2021 par Black Jack

[Black Jack]

Rebonjour,

 

2) 

Si [...] signifie "partie entière", alors :

(n+1)² = n² + 2n + 1

Sur le membre de gauche de la relation donnée :

ajouter depuis k = n²+1 ---> k =  n² + 2n + 1

[sqrt(n²+1)] + [sqrt(n²+2)] + ... + [sqrt(n² + 2n + 1)] = n + n + ... + n + (n+1) = n * 2n + n + 1 = 2n² + n + 1

Cela fait passer le membre de gauche de S(de k=1 à k=d²) [sqrt(k}] à S(de k=1 à k=(d+1)²) [sqrt(k}] (voir justification ci-dessus)

---> Ajouter (2n² + n + 1) aux 2 membres de l'égalité... est une bonne piste.
****
Supposons la relation donnée vraie pour une certaine valeur d de n, on a alors :

S(de k=1 à k=d²) [sqrt(k}] = d(4d² - 3d + 5)/6 

S(de k=1 à k=d²) [sqrt(k}] +  (2d² + d + 1) = d(4d² - 3d + 5)/6 + (2d² + d + 1) 

S(de k=1 à k=(d+1)²) [sqrt(k}] = d(4d² - 3d + 5)/6 + (2d² + d + 1)

S(de k=1 à k=(d+1)²) [sqrt(k}] = d(4d² - 3d + 5)/6 + (12d² + 6d + 6)/6

S(de k=1 à k=(d+1)²) [sqrt(k}] = (4d³ - 3d² + 5d + 12d² + 6d + 6)/6

S(de k=1 à k=(d+1)²) [sqrt(k}] = (4d³ + 9d² + 11d + 6)/6

Or (d+1)(4(d+1)² - 3(d+1) + 5)/6 
= (d+1)(4d²+8d+4 - 3d - 3 + 5)/6 
= (d+1)(4d²+5d+6)/6
= (4d³+5d²+6d+4d²+5d+6)/6
= (4d³+9d²+11d+6)/6

--> S(de k=1 à k=(d+1)²) [sqrt(k}] =  (d+1)(4(d+1)² - 3(d+1) + 5)/6 

Donc si la relation donnée dans l'énoncé est vraie pour n = d, elle est encore vraie pour n = d+1  (1)

On vérifie que la relation de l'énoncé est vraie pour n = 1 ... (on trouve 1 = 1)

Et donc par (1), la relation donnée dans l'énoncé est vraie pour tout n de N*