Aide DM Maths expertes - Résolution d'équation dans C

[Invité]

Bonsoir, j'ai un DM de maths experts à réalisé pendant les vacances mais j'ai des difficultés à le réaliser. C'est pour cela que j'ai décidé de le poster ici en espérant recevoir de l'aide pour pouvoir le faire. Merci d'avance de votre aide. Sujet en pièce jointe si jamais.

Attention à différencier Z majuscule et z minuscule

z(barre) signifie le conjuguée de z tel que z = x+iy et z(barre) = x-iy pour exemple

Exercice n°1 :
1) Déterminer, dans complexes, les racines de z^2 + 6z + 25.
2) Donner l'écriture algébrique des nombres complexes a et b définis
par : a = (1 + 2i)^2 et b = (1 - 2i)^2
3) En posant Z = z^2, déduire de ce qui précède les solutions de
l'équation : z^4 + 6z^2 + 25 = 0

Exercice n°2:
Partie 1:
z désigne un nombre complexe. On pose Z = (1 + 2)(i+z(barre)).
On se propose de déterminer l'ensemble des nombres complexes z tels que
Z soit un réel.
a) Expliquer pourquoi Z est un réel si, et seulement si,
2i + i(z + z(barre)) - (z - z(barre)) = 0.
b) On note z = x + iy (avec x et y des nombres réels) la forme
algébrique de z, Justifier que Z est réel si, et seulement si, y=x+1
c) Proposer trois nombres complexes z pour lesquels Z est un réel
Partie 2
z désigne un nombre complexe différent de i. On pose: Z = z-1-i/iz+1
On se propose de déterminer l'ensemble des nombres complexes z tels que
Z soit un imaginaire pur.
a) Expliquer pourquoi Z est un imaginaire pur si, et seulement si
-i(z - z(barre)) = 2.
b) On note z = x + iy la forme algébrique de z, avec x et y des
nombres réels tels que (x; y) ≠ (0; 1). Justifier que Z est un
imaginaire pur si, et seulement si, y = 1 et x ≠ 0.
c) Proposer trois nombres complexes z pour lesquels Z est un
imaginaire pur.

[julesx]

Bonjour,

Sur un autre site, on te dirait "Un seul exercice par sujet".

Donc, pour le premier :

1) Les racines se calculent comme pour les réels, z₁₂=(-b±√∆)/(2a), sauf que, comme ∆ est négatif, √∆=i|∆|.
A toi pour la suite de cette question.

2) C'est du simple calcul en complexe.

3) Tu combines les deux questions précédentes.

La suite lorsque tu auras posté les réponses à cet exercice.

N.B. : Mets ton profil à jour, tu n'es plus en première.

[Black Jack]

Bonjour,

Ex 1-1

Alternative :

z² + 6z + 25 
= (z+3)² - 9 + 25
= (z+3)² + 16²
= (z+3)² - 16*i²
= (z+3)² - (4i)²  (Avec a²-b² = (a-b)/(a+b) ...)
= (z+3 - 4i)(z+2+4i)

z1 = -3 + 4i
z2 = -3 - 4i
**********
2 et 3)

Idem julesx

 

 

[Invité]

Merci bcp pour vos réponses

pour la 1 en calculant les solutions complexes, j'ai donc Z1=-3+4i et Z2=-3-4i

pour la 2, je ne détaille pas ici mais j'ai a=-3+4i et b=-3-4i

et pour la 3, Z=z^2 avec z=a+bi et a=-3+4i, b=-3-4i

Z=(a+bi)^2

Z=((-3+4i)+(-3-4i)i)^2

Z=((-3+4i)+(-3i)-4i^2)^2

Z=(-3+4i-3i+4)^2

Z=(1+i)^2

Z=1+2i-1^2

Z=2i

donc S={-3+4i;-3-4i;2i]

Modifié le 11 novembre 2021 par Tomus13

[pzorba75]

Pour l'exo 2, Partie 1, question a)

Utiliser la propriété du conjugué (noté conj(Z)) d'un nombre réel Z : conj(Z)=Z et

l'appliquer à l'expression (1+Z)(i+conj(Z)) pour obtenir la relation demandée.

Au travail.

[Invité]

par manque de temps pour recopier entièrement ce que j'ai écrit je vous l'envoie en photo

[pzorba75]

Désolé mais pas le courage de lire tes photos. 

[julesx]

Bonjour,

Ta résolution de la question 3) de l'exercice 1 est fausse. Z=z² entraîne que les solutions de l'équation en Z sont les racines carrées des solutions de l'équation en z.

Pour l'exercice 2, partie 1, b), tu te compliques bien la vie. Je note z le conjugué.

On a 2i+i(z+z)-(z-z)=0. Or, avec z=x+iy, on a z+z=2x et z-z=2iy.
Ceci reporté dans la relation donne 2i+2ix-2iy=0 soit y=x+1.
Il n'y a plus qu'à choisir 3 valeurs différentes de x et d'en déduire celles correspondantes de y pour obtenir les complexes demandés.

Utilise la même démarche pour le b) de la partie 2.

N.B. : Tu continues ici ou sur l'ile ?

 

[Invité]

ok merci pour vos réponses, j'ai pu finir le devoir

je pense qu'à partir de maintenant je continuerai sur l'île