C8H10N4O2 Posté(e) le 21 mai 2021 Signaler Share Posté(e) le 21 mai 2021 Bonjour à tous, Toujours sur le thème des matrices que je ne maîtrise que partiellement, j'aurais besoin de votre aide pour cet exo : je ne vois pas comment calculer A2 ...🤔 Merci d'avance ! Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut julesx Posté(e) le 21 mai 2021 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 21 mai 2021 Bonjour, Une possibilité, passer par la matrice que je note U, égale à A+I (pour simplifier l'écriture, je remplace In par I) . Tous les coefficients de cette matrice sont égaux à 1. C'est un peu ardu à écrire, mais U² est égal à n*U. Il "suffit" de développer le produit pour constater que tous les coefficients du carré sont égaux à n. U²=(A+I)²=A²+2*A*I+I²=A²+2*A*I+I => n(A+I)=A²+2*A*I+I dont tu tires A². Je passe directement à la suite. (n-1)I=A[A+(2-n)I] soit A[A+(2-n)I]/(n-1)=I A est donc inversible et son inverse est [A+(2-n)I]/(n-1). C8H10N4O2 a réagi à ceci 1 Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
C8H10N4O2 Posté(e) le 21 mai 2021 Auteur Signaler Share Posté(e) le 21 mai 2021 Bonjour JulesX et merci pour cette réponse, Alors pour le 1), je comprends que Mais je ne comprends pas comment on obtient U2=n*U 🤔 Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut julesx Posté(e) le 21 mai 2021 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 21 mai 2021 En faisant le produit ligne par colonne comme habituellement. Exemple pour le coefficient (1,1) : [1 1 ... 1]*T[1 1 ... 1]=1*1+1*1+...1*1=n idem pour tous les coefficients (i,j) donc le résultat est la matrice (n,n) composées de n, où on met n en facteur pour obtenir n*U. C8H10N4O2 a réagi à ceci 1 Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
C8H10N4O2 Posté(e) le 21 mai 2021 Auteur Signaler Share Posté(e) le 21 mai 2021 Merci ! Je ne vois pas très bien pourquoi faire appel à la transposée ici... Le début d'une démonstration par récurrence pourrait-il être : ? Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut julesx Posté(e) le 21 mai 2021 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 21 mai 2021 Je n'ai utilisé la transposée que parce qu'il n'est pas facile d'écrire une colonne ici. Quant à la récurrence, essaie, je ne vois pas bien comment traduire l'hérédité en équation. C8H10N4O2 a réagi à ceci 1 Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
C8H10N4O2 Posté(e) le 21 mai 2021 Auteur Signaler Share Posté(e) le 21 mai 2021 (modifié) D'accord, c'est compliqué pour la récurrence, mais dans ce cas, quelle démonstration utiliser ? Par ailleurs je modifie mon début de raisonnement du message précédent : Modifié le 21 mai 2021 par C8H10N4O2 Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut julesx Posté(e) le 21 mai 2021 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 21 mai 2021 il y a 9 minutes, C8H10N4O2 a dit : D'accord, c'est compliqué pour la récurrence, mais dans ce cas, quelle démonstration utiliser ? Mais simplement en écrivant le produit de deux matrices (n,n) et en développant suivant les lignes et les colonnes comme pour un produit classique de matrices. Comme dit précédemment, chaque produit de ligne*colonne donne n... C8H10N4O2 a réagi à ceci 1 Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
C8H10N4O2 Posté(e) le 21 mai 2021 Auteur Signaler Share Posté(e) le 21 mai 2021 (modifié) Ok, donc écrire ceci pourrait suffire comme justification ? Modifié le 21 mai 2021 par C8H10N4O2 Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
C8H10N4O2 Posté(e) le 21 mai 2021 Auteur Signaler Share Posté(e) le 21 mai 2021 Il y a 3 heures, julesx a dit : n(A+I)=A²+2*A*I+I dont tu tires A². Je passe directement à la suite. (n-1)I=A[A+(2-n)I] soit A[A+(2-n)I]/(n-1)=I A est donc inversible et son inverse est [A+(2-n)I]/(n-1). Je trouve donc A2 = n(A + In)- 2AIn-In . Est-ce bien correct ou y a-t-il meilleure manière de présenter A2 ? Ensuite je trouve une égalité légèrement différente de la votre : n(A+In) = A2+2AIn+In donne : nA + nIn = A2+2AIn+In <=> nIn-In = A2+2AIn-nA <=> (n-1)In = A(A + 2In - n) Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut julesx Posté(e) le 21 mai 2021 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 21 mai 2021 il y a une heure, C8H10N4O2 a dit : Ok, donc écrire ceci pourrait suffire comme justification ? Pour moi, oui. A la rigueur, tu peux rajouter ce que j'avais écrit précédemment, que chaque coefficient est égal au produit des termes d'une ligne par une colonne, donc à la somme de n termes de type 1*1. il y a une heure, C8H10N4O2 a dit : Je trouve donc A2 = n(A + In)- 2AIn-In . Est-ce bien correct ou y a-t-il meilleure manière de présenter A2 ? Tu peux regrouper les A et les In, AIn a priori vaut A, mais on peut le garder tel quel à cause de la mise en facteur ultérieure. A2 = (n-2)A-(n-1)In il y a une heure, C8H10N4O2 a dit : Ensuite je trouve une égalité légèrement différente de la votre : n(A+In) = A2+2AIn+In donne : nA + nIn = A2+2AIn+In <=> nIn-In = A2+2AIn-nA <=> (n-1)In = A(A + 2In - n) Non, car la mise en facteur de A fait apparaître In car il faut qu'il reste un terme de type matrice n*A=(n*In)*A. Attention à ce type de démarche. N.B. : Je n'ai pas voulu intervenir dans ton autre post car je n'ai pas la réponse à la question 4)a). Je me demande simplement si ça peut avoir un lien avec le fait que la rotation respecte les dimensions. Jette un coup d’œil sur la toile. Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
C8H10N4O2 Posté(e) le 21 mai 2021 Auteur Signaler Share Posté(e) le 21 mai 2021 Il y a 1 heure, julesx a dit : Non, car la mise en facteur de A fait apparaître In car il faut qu'il reste un terme de type matrice n*A=(n*In)*A. Attention à ce type de démarche. Là j'avoue ne pas très bien saisir ce que signifie dans ce contexte : "il faut qu'il reste un terme de type matrice" 🤔 Quelle erreur ai-je commis dans ma démarche ? Comment obtient-on alors (n-1)I=A[A+(2-n)I] à partir de n(A+I)=A²+2*A*I+I ? Il y a 1 heure, julesx a dit : N.B. : Je n'ai pas voulu intervenir dans ton autre post car je n'ai pas la réponse à la question 4)a). Je me demande simplement si ça peut avoir un lien avec le fait que la rotation respecte les dimensions. Jette un coup d’œil sur la toile. D'accord merci ! 👍 Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut julesx Posté(e) le 22 mai 2021 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 22 mai 2021 Il y a 13 heures, C8H10N4O2 a dit : Là j'avoue ne pas très bien saisir ce que signifie dans ce contexte : "il faut qu'il reste un terme de type matrice" 🤔 Quelle erreur ai-je commis dans ma démarche ? Comment obtient-on alors (n-1)I=A[A+(2-n)I] à partir de n(A+I)=A²+2*A*I+I C'est un problème d'homogénéité des relations. A est une matrice, 2-n est un nombre, on ne peut pas ajouter une matrice et un nombre. Au départ, 2*A*I, si on met A en facteur, il reste bien 2*I. Si, entre temps, on a remplacé 2*A*I par 2*A dans A²+2*A*I pour avoir A²+2*A, et si on veut mettre A en facteur, il faut que le deuxième terme reste homogène à une matrice, donc compléter 2 par 2*I. Pour en revenir au calcul complet : n(A+I)=A²+2*A*I+I => n*A+n*I=A²+2*A*I+I => n*I-I=A²+(2-n)*A*I => (n-1)*I=A*[A+(2-n)*I] d'où A*[A+(2-n)*I]/(n-1)=I On en déduit que A-1=[A+(2-n)*I]/(n-1) Tu peux t'amuser à le vérifier pour les premières valeurs de n. En particulier, pour n=2, A-1=A. Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
C8H10N4O2 Posté(e) le 22 mai 2021 Auteur Signaler Share Posté(e) le 22 mai 2021 il y a 7 minutes, julesx a dit : Pour en revenir au calcul complet : n(A+I)=A²+2*A*I+I => n*A+n*I=A²+2*A*I+I => n*I-I=A²+(2-n)*A*I => (n-1)*I=A*[A+(2-n)*I] d'où A*[A+(2-n)*I]/(n-1)=I On en déduit que A-1=[A+(2-n)*I]/(n-1) Tu peux t'amuser à le vérifier pour les premières valeurs de n. En particulier, pour n=2, A-1=A. Bonjour JulesX et merci d'avoir détaillé les étapes du calcul ! À propos de l'équivalence en vert, je trouve : je suppose qu'on introduit nA=nA.In à droite de l'égalité simplement pour obtenir la factorisation (2-n)*A*In c'est bien cela ? Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut julesx Posté(e) le 22 mai 2021 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 22 mai 2021 il y a 2 minutes, C8H10N4O2 a dit : je suppose qu'on introduit nA=nA.In à droite de l'égalité simplement pour obtenir la factorisation (2-n)*A*In c'est bien cela ? Oui. Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
C8H10N4O2 Posté(e) le 22 mai 2021 Auteur Signaler Share Posté(e) le 22 mai 2021 Il y a 15 heures, julesx a dit : Tu peux regrouper les A et les In, AIn a priori vaut A, mais on peut le garder tel quel à cause de la mise en facteur ultérieure. A2 = (n-2)A-(n-1)In Je trouve plutôt A2=(n-2)A + (n-1)In . Simple erreur de signe où ai-je (encore !) fait une erreur ? 😆 Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut julesx Posté(e) le 22 mai 2021 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 22 mai 2021 il y a une heure, C8H10N4O2 a dit : Je trouve plutôt A2=(n-2)A + (n-1)In . Simple erreur de signe où ai-je (encore !) fait une erreur ? Non, c'est bon, c'est moi qui avait fait une erreur de signe en écrivant un peu vite la relation. Je ne l'ai pas vu car je m'étais arrêté là dans ce post. Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
C8H10N4O2 Posté(e) le 22 mai 2021 Auteur Signaler Share Posté(e) le 22 mai 2021 D'accord ! Alors un grand merci de m'avoir accompagné pas à pas dans la résolution de cet exo !🙏 👍 Très bon week-end Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut julesx Posté(e) le 22 mai 2021 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 22 mai 2021 De rien. Très bon week-end également C8H10N4O2 a réagi à ceci 1 Citer Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
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