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Exo matrices


C8H10N4O2
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  • E-Bahut

Bonjour,

Une possibilité, passer par la matrice que je note U, égale à A+I (pour simplifier l'écriture, je remplace In par I) . Tous les coefficients de cette matrice sont égaux à 1.

C'est un peu ardu à écrire, mais U² est égal à n*U. Il "suffit" de développer le produit pour constater que tous les coefficients du carré sont égaux à n.

U²=(A+I)²=A²+2*A*I+I²=A²+2*A*I+I

=>

n(A+I)=A²+2*A*I+I dont tu tires A².

 

Je passe directement à la suite.

(n-1)I=A[A+(2-n)I]

soit

A[A+(2-n)I]/(n-1)=I

A est donc inversible et son inverse est [A+(2-n)I]/(n-1).

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  • E-Bahut

En faisant le produit ligne par colonne comme habituellement. Exemple pour le coefficient (1,1) :

[1 1 ... 1]*T[1 1 ... 1]=1*1+1*1+...1*1=n

idem pour tous les coefficients (i,j)

donc le résultat est la matrice (n,n) composées de n, où on met n en facteur pour obtenir n*U.

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  • E-Bahut
il y a 9 minutes, C8H10N4O2 a dit :

D'accord, c'est compliqué pour la récurrence, mais dans ce cas, quelle démonstration utiliser ? 

Mais simplement en écrivant le produit de deux matrices (n,n) et en développant suivant les lignes et les colonnes comme pour un produit classique de matrices.

Comme dit précédemment, chaque produit de ligne*colonne donne n...

 

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Il y a 3 heures, julesx a dit :

 

n(A+I)=A²+2*A*I+I dont tu tires A².

 

Je passe directement à la suite.

(n-1)I=A[A+(2-n)I]

soit

A[A+(2-n)I]/(n-1)=I

A est donc inversible et son inverse est [A+(2-n)I]/(n-1).

Je trouve donc A2 = n(A + In)- 2AIn-In  . Est-ce bien correct ou y a-t-il meilleure manière de présenter A2 ?

Ensuite je trouve une égalité légèrement différente de la votre : n(A+In) = A2+2AIn+In donne :

nA + nIn = A2+2AIn+In  <=> nIn-In = A2+2AIn-nA <=> (n-1)In = A(A + 2In - n)  

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  • E-Bahut
il y a une heure, C8H10N4O2 a dit :

Ok, donc écrire ceci pourrait suffire comme justification ?

Pour moi, oui. A la rigueur, tu peux rajouter ce que j'avais écrit précédemment, que chaque coefficient est égal au produit des termes d'une ligne par une colonne, donc à la somme de n termes de type 1*1.

il y a une heure, C8H10N4O2 a dit :

Je trouve donc A2 = n(A + In)- 2AIn-In  . Est-ce bien correct ou y a-t-il meilleure manière de présenter A2 ?

Tu peux regrouper les A et les In, AIn a priori vaut A, mais on peut le garder tel quel à cause de la mise en facteur ultérieure.

A2 = (n-2)A-(n-1)In

il y a une heure, C8H10N4O2 a dit :

Ensuite je trouve une égalité légèrement différente de la votre : n(A+In) = A2+2AIn+In donne :

nA + nIn = A2+2AIn+In  <=> nIn-In = A2+2AIn-nA <=> (n-1)In = A(A + 2In - n)  

Non, car la mise en facteur de A fait apparaître In car il faut qu'il reste un terme de type matrice  n*A=(n*In)*A. Attention à ce type de démarche.

N.B. : Je n'ai pas voulu intervenir dans ton autre post car je n'ai pas la réponse à la question 4)a). Je me demande simplement si ça peut avoir un lien avec le fait que la rotation respecte les dimensions. Jette un coup d’œil sur la toile.

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Il y a 1 heure, julesx a dit :

Non, car la mise en facteur de A fait apparaître In car il faut qu'il reste un terme de type matrice  n*A=(n*In)*A. Attention à ce type de démarche.

Là j'avoue ne pas très bien saisir ce que signifie dans ce contexte : "il faut qu'il reste un terme de type matrice" 🤔  Quelle erreur ai-je commis dans ma démarche ?

Comment obtient-on alors  (n-1)I=A[A+(2-n)I]  à partir de  n(A+I)=A²+2*A*I+I    ? 

Il y a 1 heure, julesx a dit :

N.B. : Je n'ai pas voulu intervenir dans ton autre post car je n'ai pas la réponse à la question 4)a). Je me demande simplement si ça peut avoir un lien avec le fait que la rotation respecte les dimensions. Jette un coup d’œil sur la toile.

D'accord merci ! :) 👍

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  • E-Bahut
Il y a 13 heures, C8H10N4O2 a dit :

Là j'avoue ne pas très bien saisir ce que signifie dans ce contexte : "il faut qu'il reste un terme de type matrice" 🤔  Quelle erreur ai-je commis dans ma démarche ?

Comment obtient-on alors  (n-1)I=A[A+(2-n)I]  à partir de  n(A+I)=A²+2*A*I+I  

C'est un problème d'homogénéité des relations.

A est une matrice, 2-n est un nombre, on ne peut pas ajouter une matrice et un nombre.

Au départ, 2*A*I, si on met A en facteur, il reste bien 2*I. Si, entre temps, on a remplacé 2*A*I par 2*A dans A²+2*A*I pour avoir A²+2*A, et si on veut mettre A en facteur, il faut que le deuxième terme reste homogène à une matrice, donc compléter 2 par 2*I.

Pour en revenir au calcul complet :

n(A+I)=A²+2*A*I+I
=>
n*A+n*I=A²+2*A*I+I
=>
n*I-I=A²+(2-n)*A*I
=>

(n-1)*I=A*[A+(2-n)*I]
d'où
A*[A+(2-n)*I]/(n-1)=I

On en déduit que A-1=[A+(2-n)*I]/(n-1)

Tu peux t'amuser à le vérifier pour les premières valeurs de n. En particulier, pour n=2, A-1=A.

 

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il y a 7 minutes, julesx a dit :

Pour en revenir au calcul complet :

n(A+I)=A²+2*A*I+I
=>

n*A+n*I=A²+2*A*I+I
=>
n*I-I=A²+(2-n)*A*I

=>
(n-1)*I=A*[A+(2-n)*I]
d'où
A*[A+(2-n)*I]/(n-1)=I

On en déduit que A-1=[A+(2-n)*I]/(n-1)

Tu peux t'amuser à le vérifier pour les premières valeurs de n. En particulier, pour n=2, A-1=A.

 

Bonjour JulesX et merci d'avoir détaillé les étapes du calcul !

À propos de l'équivalence en vert, je trouve :

{"code":"$nA_{}+nI_{n}=A^{2}+2AI_{n}+I_{n}\\,\\iff\\,nI_{n}\\,-I_{n}=A^{2}+2AI_{n}-nA$","font":{"color":"#000000","family":"Arial","size":"14"},"aid":null,"type":"$","id":"9","backgroundColorModified":false,"backgroundColor":"#ffffff","ts":1621677793894,"cs":"6y0GaUwPL+qdaoAtZy687Q==","size":{"width":584,"height":20}}

je suppose qu'on introduit nA=nA.Ià droite de l'égalité simplement pour obtenir la factorisation (2-n)*A*In   c'est bien cela ? 

 

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Il y a 15 heures, julesx a dit :

Tu peux regrouper les A et les In, AIn a priori vaut A, mais on peut le garder tel quel à cause de la mise en facteur ultérieure.

A2 = (n-2)A-(n-1)In

Je trouve plutôt A2=(n-2)A + (n-1)In  . Simple erreur de signe où ai-je (encore !) fait une erreur ? 😆

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  • E-Bahut
il y a une heure, C8H10N4O2 a dit :

Je trouve plutôt A2=(n-2)A + (n-1)In  . Simple erreur de signe où ai-je (encore !) fait une erreur ? 

Non, c'est bon, c'est moi qui avait fait une erreur de signe en écrivant un peu vite la relation. Je ne l'ai pas vu car je m'étais arrêté là dans ce post.

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