Al-Kashi et ensemble de points

[pzorba75]

On dispose d'un segment [AB] de longueur 6 cm. Il s'agit de déterminer l'ensemble des points M tel que MA/MB=2.

1) Démontrer que deux points de la droite (AB) vérifient MA/MB=2.

Il s'agit de G tel que vec(GA)=2vec(GB) et et G' tel que vec(G'A)=-2vec(G'B). K est le milieu de [GG']

On dispose alors de AB=6, AG'=4, BK=2 et AG=12.

2) M est un point du plan n'appartenant pas à la droite (AB).

a) Exprimer cos(BAM) de deux façons différentes en appliquant le théorème d'Al-Kashi dans le triangle BAM, puis dans e triangle AKM.

On obtient :

cos(BAM)=(AB^2+AM^2-MB^2)/(2*AB*AM) et cos(KAM)=(AK^2+AM^2-MK^2)/(2*AK*AM)

b) En  déduire MK^2 sachant que MA=2MB.

À cette question je sèche et je ne peux obtenir MK^2=4^2, l'ensemble M étant le cercle de diamètre [GG'] de centre K. Je sais obtenir l'ensemble par les propriétés du produit scalaire découlant de MA^2-4MB^2=0, (vec(MA)-2vec(MB))*(vec(MA)+2vec(MB))=0 et vec(MG)*vec(MG')=0, mais pas par déduction des expressions du cos(BAM)=cos(KAM)

Merci aux curieux de me remettre sur les rails.

[julesx]

Bonjour,

En égalant les deux expressions du cosinus et en remplaçant les longueurs que l'on connait par leurs valeurs, les AM² s'éliminent et il ne reste que MK²=16.

[Black Jack]

Bonjour,

On montre que les points A , G' , B , G et K sont sur une droite graduée telle que :  

A(0) ; G'(4) ; B(6) ; K(8) ; G(12)

Comme les points A, K et K sont alignés, on a angle(BAM) = angle(KAM)

on a donc les 2 relations de cos( ) :

cos(BAM)=(AB^2+AM^2-MB^2)/(2*AB*AM) et cos(KAM)=cos(BAM) = (AK^2+AM^2-MK^2)/(2*AK*AM)

--> (AB^2+AM^2-MB^2)/(2*AB*AM) = (AK^2+AM^2-MK^2)/(2*AK*AM)

(AB^2+AM^2-MB^2)/AB = (AK^2+AM^2-MK^2)/AK

(36+AM^2-MB^2)/6 = (64+AM^2-MK^2)/8

(36+AM^2-MB^2)/3 = (64+AM^2-MK^2)/4

4*(36+AM^2-MB^2) = 3*(64+AM^2-MK^2)
144 + 4AM² - 4MB² = 192 + 3AM² - 3MK²
AM² - 4MB² - 48 = -3MK²

et comme AM = 2MB, on a AM² - 4MB² = 0 ---> 3MK² = 48

MK² = 16
MK = 4

Double emploi ...   🙂

 
 

[pzorba75]

Merci pour ce dépannage express,

je n'avais pas utilisé correctement les données de la figure.