Exercice intégration par parties

[manynhozoobinks]

Yo, je bute sur un exercice depuis une heure, voici l'énoncé
on a Hn = 2 * ( Intégrale de 0 à +infini ) de t^n exp((-t^2)/25).
On pose n = 2k ou k est un entier naturel non nul, et je dois montrer qu'avec une ipp on a :
H2k = (25/2)*(2k-1)*H2k-2
j'ai essayé d'intégrer l'exponentielle mais impossible donc j'ai essayé d'intégrer t^n mais ça ne mène à rien.

Merci de votre aide

[pzorba75]

Pour l'IPP et en sortir, il faut considérer u(t)=t^(2K-1) et v'(t)=t*e^{-t^2/25}, appliquer la méthode avec soin et tu obtiendras normalement H_{2k}=25/2*(2k-1)*H_{2k-2}. 

L'utilisation des expressions Latex est vraiment trop "m.rd.que" sur ce site. Je me contente des ^{}, _{} pour placer les exposants et les indices.

[Black Jack]

Bonjour,

J'essaie en Latex ... qui, c'est vrai, n'est pas très facile à utiliser sur le site.

\(\int t^n.e^{\frac{-t^2}{25}} dt\)

Poser t^(n-1) = u --> (n-1).t^(n-2) dt = du
et poser t * exp((-t^2)/25) dt = dv ---> v = -(25/2) *exp((-t^2)/25)

\(\int t^n e^{\frac{-t^2}{25}} dt = - t^{n-1} * \frac{25}{2} *e^{\frac{-t^2}{25}}+ \frac{25}{2}.(n-1) . \int t^{n-2} * e^{\frac{-t^2}{25}} dt\)

\(\int_0^\infty t^n e^{\frac{-t^2}{25}} dt =[ - t^{n-1} * \frac{25}{2} *e^{\frac{-t^2}{25}}]_0^{\infty}+ \frac{25}{2}.(n-1) . \int_0^\infty t^{n-2} * e^{\frac{-t^2}{25}} dt\)

\(\int_0^\infty t^n e^{\frac{-t^2}{25}} dt = 0 + \frac{25}{2}.(n-1) . \int_0^\infty t^{n-2} * e^{\frac{-t^2}{25}} dt\)

\(2 * \int_0^{\infty} t^n e^{\frac{-t^2}{25}} dt = 25.(n-1) . \int_0^{\infty} t^{n-2} * e^{\frac{-t^2}{25}} dt \)

et en posant n = 2k -->

\(2 * H_{2k} = 25.(2k-1) * H_{2k-2}\)

\(H_{2k} = \frac{25}{2}.(2k-1) * H_{2k-2}\)

 

 

 

 

 

[pzorba75]

@black-Jack de Belgique : Le changement de variable dans une intégrale n'est pas au programme des lycées en France. 

[Black Jack]

Il y a 11 heures, pzorba75 a dit :

@black-Jack de Belgique : Le changement de variable dans une intégrale n'est pas au programme des lycées en France. 

Je n'ai pas fait de changement de variables.

 

 

 

 

[Black Jack]

@ manynhozoobinks

Bonjour,

Si tu ne comprends pas mes 2 lignes (qui utilisent la notion de différentielle, peut-être pas déjà enseignée à ton niveau) : 

Poser t^(n-1) = u --> (n-1).t^(n-2) dt = du
et poser t * exp((-t^2)/25) dt = dv ---> v = -(25/2) *exp((-t^2)/25)

Elles sont équivalentes à :
Poser :

u = t^(n-1)
et v' = t * exp((-t^2)/25)

On applique ensuite la technique de l'IPP
 

[Chaka]

Il y a 9 heures, Black Jack a dit :

@ manynhozoobinks

Bonjour,

Si tu ne comprends pas mes 2 lignes (qui utilisent la notion de différentielle, peut-être pas déjà enseignée à ton niveau) : 

Poser t^(n-1) = u --> (n-1).t^(n-2) dt = du
et poser t * exp((-t^2)/25) dt = dv ---> v = -(25/2) *exp((-t^2)/25)

Elles sont équivalentes à :
Poser :

u = t^(n-1)
et v' = t * exp((-t^2)/25)

On applique ensuite la technique de l'IPP
 

Et ceci s'appelle un changement de variable !!  Pzorba n'est donc pas fou...  

[Black Jack]

il y a 30 minutes, Chaka a dit :

Et ceci s'appelle un changement de variable !!  Pzorba n'est donc pas fou...  

Tu racontes n'importe quoi.

 

Pzorba a  écrit dans son premier message:

Pour l'IPP et en sortir, il faut considérer u(t)=t^(2K-1) et v'(t)=t*e^{-t^2/25}, 

Et j'ai fait exactement ce qu'il a lui même préconisé.

Et ce n'est pas un changement de variable, la variable dans l'équation différentielle est t au début ... et reste t dans tout ce qui suit.

C'eut été un changement de variable si en partant avec t comme variable d'intégration, on avait retrouvé plus loin une autre variable d'intégration... ce n'est ABSOLUMENT PAS le cas.

La variable d'intégration est t au début et reste t tout au long du calcul.

 

 

 

 

 

 

 

[Chaka]

Bonsoir.
Je te parlais du message que j'ai précédemment cité : "[...] Poser t^(n-1) = u --> (n-1).t^(n-2) dt = du et poser t * exp((-t^2)/25) dt = dv ---> v = -(25/2) *exp((-t^2)/25) [...] u = t^(n-1) et v' = t * exp((-t^2)/25)". Ce qui est écrit ici c'est un changement de variable. Ici tu as juste posé une variable u= une expression en fonction de t et non u_n(t)= une expression de t (qui serait donc bien une fonction de t).
Sur ce ... Bonne soirée

[Black Jack]

Il y a 13 heures, Chaka a dit :

Bonsoir.
Je te parlais du message que j'ai précédemment cité : "[...] Poser t^(n-1) = u --> (n-1).t^(n-2) dt = du et poser t * exp((-t^2)/25) dt = dv ---> v = -(25/2) *exp((-t^2)/25) [...] u = t^(n-1) et v' = t * exp((-t^2)/25)". Ce qui est écrit ici c'est un changement de variable. Ici tu as juste posé une variable u= une expression en fonction de t et non u_n(t)= une expression de t (qui serait donc bien une fonction de t).
Sur ce ... Bonne soirée

Et bien je confirme ma réponse.

Tu ne sais pas de quoi tu parles.

Le "Poser t^(n-1) = u --> (n-1).t^(n-2) dt = du et poser t * exp((-t^2)/25) dt = dv ---> v = -(25/2) *exp((-t^2)/25) [...] u = t^(n-1) et v' = t * exp((-t^2)/25)".

de mon message est (ET je l'ai expliqué dans un message plus loin) équivalent au message de pzorba75 quand il écrit :

u = t^(2k-1)
et v' = t * exp((-t^2)/25)

La seule différence est qu'il remplace n par 2k dès le début et que moi je ne fais qu'au final ... ce qui ne change évidemment rien.

Et dans ce que j'ai fait (une IPP avec la méthode habituelle, (donc en utilisant (uv)' = uv' + u'v)), je dis et répète que je n'ai pas fait de changement de variable, la variable d'intégration est t au début et reste t tout au long du développement.

Le fait que cela te dépasse est une chose, que tu continues à raconter des sottises sur ma réponse en est une autre.

 

[Chaka]

Je confirme que ce que tu as dit est mal rédigé.
Grand bien te fasse de rester borné.
 

Bref je ne veux pas tomber dans un débat stérile avec toi car il ne nous apporterai rien à tout les deux si ce n'est que des ennuis.
Bien cordialement.
Bonne continuation  

Modifié le 26 avril 2021 par Chaka

[Black Jack]

Il y a 14 heures, Chaka a dit :

Je confirme que ce que tu as dit est mal rédigé.
Grand bien te fasse de rester borné.
 

Bref je ne veux pas tomber dans un débat stérile avec toi car il ne nous apporterai rien à tout les deux si ce n'est que des ennuis.
Bien cordialement.
Bonne continuation  

Ce n'est pas mal rédigé, ma première réponse utilise des différentielles ... que tu ne comprends visiblement pas.

Cette méthode est utilisée en supérieur et n'a rien de faux, ni de mal rédigé.

Comme cette méthode semble ne pas (ou plus ?) enseignée  en France, du moins à ce niveau d'étude, j'ai recommencé avec la méthode qui elle devrait être connue ... mais qui, ne t'en déplaise, n'apporte rien de plus ou de différent que celle que j'avais employée en premier.

 

 

 

 

 

 

 

[Black Jack]

Pour clore le sujet, voila une copie faite sur le net :

 

Encore une mauvaise rédaction ?

😎

 

 

[pzorba75]

Cette rédaction est tout à fait correcte, mais n'est pas enseignée en classe de terminale en France.

Je ne sais pas le pourquoi du comment, mais la notation différentielle n'est pas apprise et u=x^2, du=2xdx  n'est acceptée, il faut écrire u(x)=x^2 et u'(x)=2x.

Dans plusieurs pays francophones d'Afrique, j'ai rencontré sur Internet des élèves et des professeurs en lycée qui utilisent la notation  du=....dx.  

[Black Jack]

Il y a 1 heure, pzorba75 a dit :

Cette rédaction est tout à fait correcte, mais n'est pas enseignée en classe de terminale en France.

Je ne sais pas le pourquoi du comment, mais la notation différentielle n'est pas apprise et u=x^2, du=2xdx  n'est acceptée, il faut écrire u(x)=x^2 et u'(x)=2x.

Dans plusieurs pays francophones d'Afrique, j'ai rencontré sur Internet des élèves et des professeurs en lycée qui utilisent la notation  du=....dx.  

Pas de soucis pzorba75

Les programmes sont différents partout, à tort ou à raison ...

Je ne pouvais cependant pas laisser passer des remarques fausses sur ma manière de mener les calculs, ou de les rédiger et prendre le risque que les non avertis prennent ces remarques pour argent comptant.

J'ai quand même pris la peine, dans  le message de "dimanche à 08:36", de donner une rédaction qui devait être comprise en France. 

Cela aurait du s'arrêter là sans les remarques non fondées de Chaka.