Aide dm trigonométrie & Al-Kashi

[Invité]

Bonsoir je suis bloqué sur ce dm depuis un certain temps, j'aimerais avoir des réponses pour m'aider à comprendre et réussir ce dm. Merci d'avance

Dans les cas suivants, on considère un triangle dont les longueurs des côtés sont notées a, b et c, et dont
les angles opposés aux côtés de longueurs a, b et c sont notés respectivement α, ß et γ.
On arrondira (le plus tard possible) au centième les valeurs demandées.

1°) Dans ce cas : a = 10 cm ; ß = π/6 rad.

A) Calculer la longueur c dans les cas où b = 4 cm ou 5 cm ou 6 cm.

2°) Dans ce cas : a = 10 cm ; ß = π/3 rad ; γ = π/4 rad.

a) En combinant à chaque fois 2 égalités d'Al-Kashi, écrire 2 égalités avec b et c mais sans b^2 ni c^2.

b) Calculer finalement les longueurs b et c.

[pzorba75]

Revois le cours où tu trouveras la formule d'Al' Kashi (ou triangle de Pythagore généralisé)  dans un triangle ABC, a côté opposé à l'angle A, b côté opposé à l'angle B et c côté opposé à l'angle C :

a^2=b^2+c^2-2bc*cos(A) 

et par permutation circulaire 

- b^2=c^2+a^2-2ca*cos(B);

- c^2=a^2+b^2-2ab*cos(C).

[Black Jack]

Bonjour,

 

Je fais le premier ... que tu dois évidemment comprendre et savoir refaire sans aide.

1°)
Prendre la formule de AlKashi avec le max de grandeurs connues (donc ici : a , b et angle B)

b² = a²+c²-2.ac.cos(B)
b² = 10² + c² - 20.c.cos(Pi/6)
b² = 100 + c² - 10.V3.c  (avec c pour racine carrée)
c² - 10.V3.c + (100 - b²) = 0

Delta = (10.V3)² - 4(100-b²)
Delta = -100 + 4b²

Pour que c existe, il faut delta 0, soit b 5

b = 4 (cm) est impossible

si b = 5 (cm)
c² - 10.V3.c + (100 - 5²) = 0
c² - 10.V3.c + 75 = 0
(c - 5V3)² = 0
c = 5.V3 (avec V pour racine carrée)
c = 8,66 cm (arrondie au centième)
 
si b = 6 (cm)
c² - 10.V3.c + (100 - 6²) = 0
c² - 10.V3.c + 64 = 0
c = 5V3 +/- V11

Il y a 2 solutions :
c = 5V3 - V11 (5,34 cm)
et
c = 5V3 + V11 (11,98 cm)
******
Que proposes-tu pour le 2 ème ... ?

[Invité]

Il y a 2 heures, Black Jack a dit :

Bonjour,

 

Je fais le premier ... que tu dois évidemment comprendre et savoir refaire sans aide.

1°)
Prendre la formule de AlKashi avec le max de grandeurs connues (donc ici : a , b et angle B)

b² = a²+c²-2.ac.cos(B)
b² = 10² + c² - 20.c.cos(Pi/6)
b² = 100 + c² - 10.V3.c  (avec c pour racine carrée)
c² - 10.V3.c + (100 - b²) = 0

Delta = (10.V3)² - 4(100-b²)
Delta = -100 + 4b²

Pour que c existe, il faut delta 0, soit b 5

b = 4 (cm) est impossible

si b = 5 (cm)
c² - 10.V3.c + (100 - 5²) = 0
c² - 10.V3.c + 75 = 0
(c - 5V3)² = 0
c = 5.V3 (avec V pour racine carrée)
c = 8,66 cm (arrondie au centième)
 
si b = 6 (cm)
c² - 10.V3.c + (100 - 6²) = 0
c² - 10.V3.c + 64 = 0
c = 5V3 +/- V11

Il y a 2 solutions :
c = 5V3 - V11 (5,34 cm)
et
c = 5V3 + V11 (11,98 cm)
******
Que proposes-tu pour le 2 ème ... ?

Je calculé d'abord alpha qui est égal à 5pi/12 rad

Puis pour les égalités voir les photos

Et pour calculer les longueurs j'avais opté pour la loi des sinus

[julesx]

Bonjour,

Ta démarche sur la première feuille manuscrite est juste. Par contre, sur le deuxième, tu tournes en rond, tu retrouves la même relation simplement écrite différemment.

En fait, ce qu'il faut faire ensuite, c'est combiner les relations avec a² et c² comme tu l'as fait avec a² et b². Tu obtiens alors une relation entre b et c différente de celle obtenue en combinant a² et b².

Comme on aura un système de deux équations à deux inconnues b et c, le mieux est de les écrire sous la forme habituelle :

b-c*cos(α)=a*cos(γ)

-b*cos(α)+c=a*cos(β)

avec α = 5π/12 rad, ß = π/3 rad  et  γ = π/4 rad.

Il n'y a plus qu'à résoudre ce système par la méthode que tu préfères.

[Invité]

Il y a 2 heures, julesx a dit :

Bonjour,

Ta démarche sur la première feuille manuscrite est juste. Par contre, sur le deuxième, tu tournes en rond, tu retrouves la même relation simplement écrite différemment.

En fait, ce qu'il faut faire ensuite, c'est combiner les relations avec a² et c² comme tu l'as fait avec a² et b². Tu obtiens alors une relation entre b et c différente de celle obtenue en combinant a² et b².

Comme on aura un système de deux équations à deux inconnues b et c, le mieux est de les écrire sous la forme habituelle :

b-c*cos(α)=a*cos(γ)

-b*cos(α)+c=a*cos(β)

avec α = 5π/12 rad, ß = π/3 rad  et  γ = π/4 rad.

Il n'y a plus qu'à résoudre ce système par la méthode que tu préfères.

OK merci beaucoup d'avoir pris du temps pour m'expliquer et m'aider

[julesx]

De rien, bonne continuation.

N.B. : Pour les "puristes", les valeurs exactes sont

b=5√6(√3-1)

c=10(√3-1)

obtenues à partir, en particulier, de cos(α)=(√6-√2)/4.

Mais c'est vraiment pour le "fun".