Isométrie d'espaces euclidien

[JARRE70]

Bonjour, J'ai un exemple d'exercice, j'aurai aimé avoir plus de détails concernant le corrigé de cet exemple voici l'énoncé :

E est un espace euclidien orienté de dim 3 et B= (e1,e2,e3) une base orthonormée directe. l’endomorphisme u dont la matrice dans la base B est je sais que c'est une rotation mais je n'arrive pas à comprendre comment on trouve l'axe de rotation il faut poser ker(u-idE)=Rf1/llf1ll et trouver avec   je n'arrive pas à trouver celà je voudrai des détail pour arriver à ce résultat j'ai essayer plusieurs chose, je crois savoir que (u-idE)^f1 doit faire 0 pour trouver ker(u-idE)

[julesx]

Bonjour,

Je ne suis pas compétent pour la théorie, mais j'essaie pour le début.

D'après ce que j'ai cru comprendre, on part de (A-I).X=0 avec X=vecteur colonne (x,y,z).

Ceci conduit au système d'équations que je numérote [1], [2] et [3]

(1/√3-1)x+y/√2+z/√6=0 [1]

x/√3-(1+1/√2)y+z/√6=0 [2]

x/√3-(2/√6+1)z=0 [3]

qu'on résous ici en fonction de x.

Moyennant de petits calculs :

[3] => z=(√3-√2)x

[1]-[2] => y=(√2-1)x

Donc, dans le f1 que tu écris, il manquerait le coefficient de e3.

Par contre, ne m'en demande pas plus, je ne sais pas comment continuer. Un autre intervenant plus au courant ?

[JARRE70]

Merci, tu m'aura un peu aidé je peux juste te dire que pour e3 je pense qu'il n'y a pas de coefficients car on doit choisir f2=(1/x)e1-e3 qui doit être orthogonal à f1 avec  1/x=\sqrt{{5}-2\sqrt{6}}

[julesx]

Je dis peut-être une bêtise, mais avec f1=xe1+(√2-1)xe2+e3 et f2=(1/x)e1-e3, l'orthogonalité est vérifiée quel que soit x, non ? C'est bien le produit scalaire qui doit être nul ?

[JARRE70]

Oui c'est ça donc e3 n'a pas de coefficient bizarre ton système est une bonne idée pourtant .

[julesx]

En partant de mes expressions, le produit scalaire vaut 1-(√3-√2)x, ce qui donnerait x=(√3+√2) avec le f2 de l'énoncé ?

[JARRE70]

Je sais pas mais je sais que après il faut calculer l'angle de la rotation puis son signe, on a cos(théta)=1/2(tr(A)-1)= la trace c'est la somme des éléments diagonaux de la matrice ,  u(f2)= ye1+ye2+e3 y=          le signe de sin(théta) est du signe de (f1,f2,u(f2)) , (f1,f2,u(f2))=-0.899                        

[julesx]

En fait, après rectification du x dans le post précédent, réflexion et calculs pour voir que √(2√6+5)=√3+√2, on obtient bien la bonne valeur de x avec le coefficient de e3 qu'on trouve en résolvant le système. Pour moi, c'est donc une erreur d'énoncé et f1=xe1+(√2-1)xe2+(√3-√2)xe3.

Regarde ce que ça donne avec cette expression de f1.

[JARRE70]

Oui, tu as raison je pense qu'il y a une erreur d'énoncé on a le bon coefficient pour e2 après pour les calculs qui suivent je sais plus faut que je revoie mes formules du produit scalaire parceque il y a divers formules en particuler une qui ressemble au calcul du déterminant des matrice 3x3  et qui quelquefois s'applique et quelque fois pas c'est pas la connue (u1,u2,u3)^(u'1,u'2,u'3)= u1u'1+u2u'2+u3u'3 mais une autre qui ressemble je sais plus vraiment quelquechose du genre (u1,u2,u3)^(u'1,u'2,u'3)=(u2u'3-u3u'2),-(u1u'3_u'1u3),(u1u'2-u'1u2), il y a aussi le produit mixte ext... il y a vite fait de s'embrouiller.

[julesx]

Le produit scalaire, c'est bien ça.

Par contre, (u1,u2,u3)^(u'1,u'2,u'3)=(u2u'3-u3u'2),-(u1u'3-u'1u3),(u1u'2-u'1u2) est la relation pour le produit vectoriel, qui est un vecteur (contrairement au produit scalaire, qui est un nombre).

[JARRE70]

Oui merci de me rappeler celà, le produit vectoriel on l'utilise quelquefois dans le chapitre des isométries qui se dit aussi endomorphisme orthogonal pour construire des bases orthonormée.

[julesx]

Juste pour info, j'ai utilisé Xcas pour calculer sin(θ) avec les expressions de f1, f2 et u(f2) trouvées ou définies précédemment. J'ai obtenu comme toi !

[JARRE70]

Merci pour l'information, en effet Xcas peut être pas mal pour certain calcul ça fait longtemps que je ne l'ai pas utilisé ce logiciel. Faudra cette année que j'utilise Sage c'est peut-être une autre histoire. Bonne soirée.

[julesx]

Bonne soirée également.

[PAVE]

@JARRE70

Bonjour,

Pourrais tu nous expliquer comment tu as pu mettre des expressions en Latex (?) dans ton énoncé ?

On voudrait bien pouvoir faire comme toi ...

D'avance merci.🤓

 

 

[Denis CAMUS]

Il a collé des images.

[PAVE]

Il y a 12 heures, Denis CAMUS a dit :

Il a collé des images.

Merci Denis. 

Déception e-bahut-Latexienne 😢