Etude de système linéaire spé maths TS

[Maya0]

Bonjour, j'ai presque fini mon devoir mais j'ai beaucoup de mal pour cette avant-dernière question: 

Excusez moi, mais je ne sais pas comment 'écrire' les matrices avec mon clavier... Donc pour toutes les matrices qui sont des matrices carrées d'ordre 2, (sauf U_n, B, U₀ et U*), j'ai écrit les matrices comme ceci: ( a      b ....... c      d ), où a est le terme situé dans la première colonne de la première ligne, b le terme situé dans la deuxième colonne et première ligne, c le terme situé dans la première colonne et deuxième ligne, et enfin d situé dans la deuxième colonne deuxième ligne. De plus, je n'ai pas indiqué toutes les informations situées dans les premières parties de l'exercice, mais je n'ai mentionné ici que la troisième partie, celle de l'étude du système linéaire, la partie 3 et donc question 4 ne semblait pas nécessiter ces parties pour y répondre, mais si il vous semble que non, alors faites le moi remarquer et je taperais alors l'intégralité de l'exercice... 

Quelques informations:  dans le début de l'exercice, on a prouvé que U_n+1 = AU_n + B,  puis que U* = AU* + B, et que U_n = Aⁿ (U₀ - U*) + U* . 

U_n = (pn     gn)  (c'est une matrice de colonne 1 et de ligne 2, ou pn est situé à la première colonne et première ligne), comme pour B= ( 300ln²(1,5)        -200ln²(1,5) )

et A= (1   -3ln(1,5) ....... 1/3     2ln(1,5)), et U*= ( 300ln(1,5)    100ln(1,5) ) (même type de matrice que pour B et Un et U₀) et enfin U₀= ( 120     40 ).   

Voici la question: 

4. L'objectif des questions suivantes est d'expliquer comment on obtient une expression de la suite (Un) en fonction de n. 

a. On définit les réels a et b par: a=0,5+ln(1,5) et b= - ( 3ln(1,5)-a² ) 

On obtient grâce au logiciel de calcul formel que A=PCP^-1 où C= (a   -b..... b a) et P= ( 3ln(1,5)   0..... 0,5-ln(1,5)    b )

On pose z=a + ib appartenant à l'ensemble C. On note z = Reⁱ  l'écriture exponentielle de z (avec R > 0 et  appartenant à )-pi ; pi)  ). 

Montrer par récurrence que pour tout n de l'ensemble N, Cⁿ = ( (Rⁿ)cos(n)    -(Rⁿ)sin(n) ....... (Rⁿ)sin(n)     (Rⁿ)cos(n) ) 

Merci pour votre aide ! je bloque totalement, mais j'ai réussi à trouver R = (a² + b²), et = cos^-1 ( a/R ) = sin^-1 ( b/R ),

j'ai ensuite essayé de calculer  ( (Rⁿ)cos(n)    -(Rⁿ)sin(n) ....... (Rⁿ)sin(n)     (Rⁿ)cos(n) ) x C, mais ça ne me mène nul part... 

[Barbidoux]

Il vaudrai mieux que tu postes un scan ou une photo de ton sujet (avec une bonne résolution) ou utiliser une notation matricielle plus compréhensible comme :

[Maya0]

Oui, vous avez raison. Voici mon sujet: 

et voici la question 4 que je n'arrive pas à faire: (je n'arrive pas à retrouver C^k+1)

[Maya0]

J'ai aussi retapé selon vos indications:

" Dans le début de l'exercice, on a prouvé que U_n+1 = AU_n + B,  puis que U* = AU* + B, et que U_n = Aⁿ (U₀ - U*) + U* . 

U_n = {{pn}, {gn}}, comme pour B= {{ 300ln²(1,5) }, { -200ln²(1,5) }}

et A= {{ 1 , -3ln(1,5) },{ 1/3 , 2ln(1,5) }}, et U*= {{ 300ln(1,5) }, { 100ln(1,5) }} et enfin U₀= {{ 120 }, { 40 }}

Voici la question: 

4. L'objectif des questions suivantes est d'expliquer comment on obtient une expression de la suite (Un) en fonction de n. 

a. On définit les réels a et b par: a=0,5+ln(1,5) et b= - ( 3ln(1,5)-a² ) 

On obtient grâce au logiciel de calcul formel que A=PCP^-1 où C= {{ a , -b },{ b , a }} et P= {{ 3ln(1,5) , 0 },{ 0,5-ln(1,5) , b }}

On pose z=a + ib appartenant à l'ensemble C. On note z = Reⁱ  l'écriture exponentielle de z (avec R > 0 et  appartenant à )-pi ; pi)  ). 

Montrer par récurrence que pour tout n de l'ensemble N, Cⁿ = {{ (Rⁿ)cos(n) ,  -(Rⁿ)sin(n) },{  (Rⁿ)sin(n) , (Rⁿ)cos(n) }}

Merci pour votre aide  ! je bloque totalement, mais j'ai réussi à trouver R = (a² + b²), et = cos^-1 ( a/R ) = sin^-1 ( b/R ),

j'ai ensuite essayé de calculer  {{ (Rⁿ)cos(n) ,  -(Rⁿ)sin(n) },{  (Rⁿ)sin(n) , (Rⁿ)cos(n) }} x C, mais ça ne me mène pas à Cⁿ⁺¹...  "

[julesx]

Pourtant c'est bien ce qu'on obtient en calculant CⁿxC :

Par exemple le terme d'indice (1,1) vaut

Rⁿ*cos(nθ)*R*cos(θ)-Rⁿ*sin(nθ)*R*sin(θ)=Rⁿ⁺¹*[cos(nθ)*cos(θ)-sin(nθ)*sin(θ)]=Rⁿ⁺¹*cos[(n+1)θ]

et des calculs analogues pour les 3 autres termes qui conduisent bien à Cⁿ⁺¹.

[Maya0]

Ah oui! je comprends mieux! je n'avais pas remarqué que b=sin x R et que a = cos  x R ! C'est pourtant si bête... Ça me débloque tout! 

Merci beaucoup pour votre aide précieuse! 

[julesx]

De rien, bonne continuation.