Exercice nombres complexes

[pensées des neiges]

Bonjour,

voici un exercice de maths que je n'arrive pas à faire. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît?

Merci.

[Barbidoux]

document illisible.... du moins par moi...

[pensées des neiges]

Vous avez raison il est illisible. Pardon. 

Merci de m'avoir prévenu.

[julesx]

1) Si oui, les longueurs M1M2, M2M3 et M3M1 sont égales.

Calcule les modules des nombres complexes correspondants m1-m2, m2-m3 et m3-m1 et conclus

Tu peux te contenter de calculer leurs carrés.

2) Z+conjugué(Z)=2*partie réelle de Z. Si la somme est nulle, cela veut dire que la partie réelle de Z est nulle, donc que son argument est égal à π/2 modulo π.

Calcule les arguments de Z1, Z2 et Z3, les arguments des puissances respectives et leur somme algébrique. Conclus

2) Si les points image des nombres appartiennent à un même cercle de centre O, les modules des 4 racines sont égaux.

Calcule les modules au carré de chacune des solutions et conclus.

[pensées des neiges]

J'ai réussi à calculer le module : m1→ m2 = | m2 - m1 | = | 7+2i-3-4i | = | 4-2i | = √4²+(-2)² = √20

mais je bloque après pour les suivants : m2→ m3 = | m3 - m2 | = | 5+√3+(3+2√3)i-7-2i | = | 5+√3+3i+(2√3)i-7-2i | = | -2+√3+i+(2√3)i | (c'est là que je bloque)         

[julesx]

Il y a une petite erreur dans la partie imaginaire de m2--m3, c'est 1+2√3. C'est peut-être là que ça bloque ?

Sinon, toujours en restant en carré de module (car si les carrés sont égaux, les modules le sont aussi)

(-2+√3)²=7-4√3

(1+2√3)²=13+4√3

La somme des deux fait bien 20.

Tu regardes la suite ?

[pensées des neiges]

Merci j'ai enfin trouvé la solution. Du coup l'affirmation est vraie car les trois calculs mène au même résultat c'est-à-dire √20

[julesx]

Oui pour le 1). Tu passes au 2) (voire au 3) ?

[pensées des neiges]

Je n'arrive pas à calculer les argument, pouvez-vous me donner l'exemple pour le premier

[julesx]

Pour le premier, c'est évident, sous forme exponentielle, l'argument est la valeur de l'angle dans l'exponentielle soit π/6.

Pour les deux autres, il faut déterminer leur forme trigonométrique. Exemple :

3-3i=ρ*(cos(θ)+isin(θ)

avec

ρ=√(9+9)=√18=3√2

cos(θ)=3/(√3/2)=√2/2

sin(θ)=-3/(√3/2)=-√2/2

d'où

θ=-π/4.

Fais pareil pour Z3.

[pensées des neiges]

Merci beaucoup. Voici pour Z3, est-ce correct.

Que dois-je faire ensuite pour définir si l'affirmation est vraie ou fausse?

[julesx]

C'est ça pour Z3, le 2kπ est inutile, dans la forme trigonométrique ou exponentielle, on ne garde que la valeur comprise entre -π et π.

Ensuite, tu pars du principe que l'élévation à la puissance n multiplie au départ l'argument par n.  Si on veut directement le résultat, on ramène de même cet argument dans l'intervalle ]-π;π].

Ici, tu peux t'en passer en garder les trois arguments , en en faisant la somme algébrique, soit 15*arg(Z1)+8*arg(Z2)-7*arg(Z3) et en ramenant le résultat final dans le bon intervalle.

[Barbidoux]

La relation Z+Zb=2*Re(Z)=0 n'est vérifiée que lorsque Re(Z)=0, or les complexes z₁, z₂, z₃ ont tous des parties réelles non nulle donc  la partie réelle de Z= z₁¹⁵*z₂⁸/z₃⁷ n'est pas nulle et l'affirmation Z+Zb=0 est donc fausse.

[pensées des neiges]

j'ai appliqué la formule : 15 x arg(z1) + 8 x arg(z2) - 7 x arg(z3)

mais je ne sais pas comment conclure

j'ai également calculé les arguments puissances

[julesx]

Les puissances des modules ne présentent pas d’intérêt. Pour l'argument final, il faut le ramener dans le bon intervalle, or -16π /3=-18π /3+2π /3 donc 2π /3.

Cet angle est différent de π /2 modulo π , donc la somme n'est pas nulle.

Mais si tu veux te passer de ces calculs, tu prends la solution de Barbidoux, qui donne le résultat immédiatement. Moi, je pensais qu'on voulait te faire utiliser les propriétés des puissance des complexes...

[pensées des neiges]

pour l'affirmation 3, j'ai résolu la deuxième partie de l'équation c'est-à-dire (z² - 10z + 45)

mais je ne sais pas comment résoudre la première partie soit ( z² + 45) 

Merci

[julesx]

Oui pour les solutions de z²-10z+45=0.

Pour z²+45=0, c'est encore plus simple : z²+45=0 => z²=-45 => z=±i√45.

Mais je te rappelle qu'on veut montrer que les modules sont égaux. Pour l'équation ci-dessus, les modules sont simplement √45. Je te laisse calculer les modules des deux autres solutions.

il y a 51 minutes, Barbidoux a dit :

La relation Z+Zb=2*Re(Z)=0 n'est vérifiée que lorsque Re(Z)=0, or les complexes z₁, z₂, z₃ ont tous des parties réelles non nulle donc  la partie réelle de Z= z₁¹⁵*z₂⁸/z₃⁷ n'est pas nulle et l'affirmation Z+Zb=0 est donc fausse.

Oui, avec ces valeurs de puissances, mais qu'en serait-il par exemple de Z= z₁⁹*z₂⁶/z₃⁹ ?

[Barbidoux]

Il y a 2 heures, julesx a dit :

La relation Z+Zb=2*Re(Z)=0 n'est vérifiée que lorsque Re(Z)=0, or les complexes z₁, z₂, z₃ ont tous des parties réelles non nulle donc  la partie réelle de Z= z₁¹⁵*z₂⁸/z₃⁷ n'est pas nulle et l'affirmation Z+Zb=0 est donc fausse.

Oui, avec ces valeurs de puissances, mais qu'en serait-il par exemple de Z= z₁⁹*z₂⁶/z₃⁹ ?

cela ne change rien z₁ n'est pas un imaginaire pur pas plus que z₂ ou z₃ donc Z=z₁ⁿ¹*z₂ⁿ²*z₃ⁿ³ avec n₁, n₂, n₃ entiers relatifs alors Z a une partie réelle non nulle et par conséquent Z+Zb=2*Re(z)≠0 et cela quelque soit les valeurs de n₁, n₂ et n₃.

[julesx]

il y a 10 minutes, Barbidoux a dit :

cela ne change rien z₁ n'est pas un imaginaire pur pas plus que z₂ ou z₃ donc Z=z₁ⁿ¹*z₂ⁿ²*z₃ⁿ³ avec n₁, n₂, n₃ entiers relatifs a un module non nul ce qui fait que Z possède une partie réelle non nulle et par conséquent Z+Zb=2*Re(z)≠0.

Désolé , z1=e^iπ/6 => z1⁹=e^9iπ/6=e^i3π/2 qui est bien un imaginaire pur, nonobstant la partie réelle de départ. Même chose pour mes deux autres exemples. Avoir un module non nul n'est pas synonyme de partie réelle non nulle, le meilleur exemple est i...

[Barbidoux]

il y a une heure, julesx a dit :

Désolé , z1=e^iπ/6 => z1⁹=e^9iπ/6=e^i3π/2 qui est bien un imaginaire pur, nonobstant la partie réelle de départ. Même chose pour mes deux autres exemples. Avoir un module non nul n'est pas synonyme de partie réelle non nulle, le meilleur exemple est i...

Je pensais que que si z₁=a₁+i*b₁, z₂=a₂+i*b₂, et z₃=a₃+i*b₃ alors Z= (a₁+i*b₁)ⁿ¹*(a₂+i*b₂)ⁿ²*(a₃+i*b₃)ⁿ³  avait forcément une partie réelle non nulle.... Mais tu as raison il ne fallait pas raisonner sur  les parties réelle de z_1,z_2,z₃ mais sur leurs arguments  pour montrer que Z n'était pas un imaginaire pur seul cas pour  lequel la relation   Z-Zb=0 est vérifiée.  

La voie (monter que Z n'était pas un imaginaire pur donc que la relation était fausse ) était bonne mais j'ai déraillé ensuite...   mea culpa, mea maxima culpa

[pensées des neiges]

Merci beaucoup de votre aide.